2015年考研数二第23题解析:相似矩阵、矩阵的相似对角化

题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\\
-1 & 3 & -3\\
1 & -2 & a
\end{bmatrix}$ 相似于矩阵 $B=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 3 & 1
\end{bmatrix}$.

$(Ⅰ)$ 求 $a$, $b$ 的值;

$(Ⅱ)$ 求可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.

解析

第 $(Ⅰ)$ 问

由于 $A \sim B$, 于是:

$$
|A| = |B|, tr(A) = tr(B) \Rightarrow
$$

$$
|A| = |B| \Rightarrow
$$

$$
-6-6 + 9 + 2a = b \Rightarrow
$$

$$
2a – 3 = b. ①
$$

$$
tr(A) = tr(B) \Rightarrow
$$

$$
a + 3 = b + 2 \Rightarrow
$$

$$
b = a + 1. ②
$$

结合 $①$ 式与 $②$ 式,可得:

$$
a = 4 , b = 5.
$$

第 $(Ⅱ)$ 问

由第 $(Ⅰ)$ 问,可知:

$$
A=\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\\
-1 & 3 & -3\\
1 & -2 & 4
\end{bmatrix};
$$

$$
B=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & 5 & 0\\
0 & 3 & 1
\end{bmatrix}.
$$

于是:

$$
|\lambda E – B| = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda – 1 & 2 & 0\\
0 & \lambda – 5 & 0\\
0 & -3 & \lambda – 1
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 1)^{2} (\lambda – 5) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = 1, \lambda_{3} = 5.
$$

由于 $A \sim B$, 所以,矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 拥有相同的特征值,即矩阵 $A$ 的特征值也为:

$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = 1, \lambda_{3} = 5.
$$

接着,将 $\lambda_{1} = \lambda_{2} = 1$ 代入 $(\lambda E – A) X = 0$, 得:

$$
(\lambda E – A) X = 0 \Rightarrow
$$

$$
(E – A) X = 0 \Rightarrow
$$

$$
E – A =
$$

$$
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 3\\
1 & -2 & 3\\
-1 & 2 & -3
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$

即,在矩阵 $A$ 中,属于特征值 $\lambda_{1} = \lambda_{2} = 1$ 的两个线性无关的特征向量分别为:

$$
\alpha_{1} = \begin{bmatrix}
2\\
1\\
0
\end{bmatrix};
$$

$$
\alpha_{2} = \begin{bmatrix}
-3\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
$$

同样的,将 $\lambda_{3} = 5$ 代入 $(\lambda E – A) X = 0$, 得:

$$
(\lambda E – A) X = 0 \Rightarrow
$$

$$
(5 E – A) X = 0 \Rightarrow
$$

$$
5 E – A \Rightarrow
$$

$$
\begin{bmatrix}
5 & -2 & 3\\
1 & 2 & 3\\
-1 & 2 & 1
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$

即,在矩阵 $A$ 中,属于特征值 $\lambda_{3} = 5$ 的特征向量为:

$$
\alpha_{3} = \begin{bmatrix}
-1\\
-1\\
1
\end{bmatrix}
$$

综上,当矩阵 $P = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$, 即 $P = \begin{bmatrix}
2 & -3 & -1\\
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}$ 时,可使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵,且:

$$
P^{-1} A P = \begin{bmatrix}
1 & & \\
& 1 & \\
& & 5
\end{bmatrix}.
$$


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