2015年考研数二第20题解析:物理应用、微分、一阶线性微分方程

题目

已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为 $120$ ℃ 的物体在 $20$ ℃ 的恒温介质中冷却,$30$ min 后该物体温度降至 $30$ ℃, 若要将该物体的温度降至 $21$ ℃, 还需要冷却多长时间?

解析

设物体的温度为 $T(t)$, 对应的时刻为 $t$, 则,由题可得:

$$
\frac{{\rm d}T(t)}{{\rm d}t} = – k [T(t) – 20], k > 0.
$$

注:

[1]. 在下文中,有时会把 $T(t)$ 简写为 $T$.

即:

$$
\frac{{\rm d}T(t)}{{\rm d}t} = – k [T(t) – 20] \Rightarrow
$$

$$
\frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} = – k [T – 20] \Rightarrow
$$

$$
\frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} = – kT + 20k \Rightarrow
$$

$$
\frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} + kT = 20k \Rightarrow
$$

$$
T^{‘} + k T = 20k, k > 0.
$$

接着,由一阶线性微分方程的求解公式,可得:

$$
T(t) = [\int 20k \cdot e^{\int k {\rm d}t} {\rm d}t + C] \cdot e^{-\int k {\rm d}t} \Rightarrow
$$

$$
T(t) = [20k \int e^{\int k {\rm d}t} {\rm d}t + C] \cdot e^{-\int k {\rm d}t} \Rightarrow
$$

$$
T(t) = [20k \int e^{kt} {\rm d}t + C] \cdot e^{-kt} \Rightarrow
$$

$$
T(t) = [20k \cdot \frac{1}{k} e^{kt} + C] \cdot e^{-kt} \Rightarrow
$$

$$
T(t) = 20k \cdot \frac{1}{k} e^{kt} \cdot e^{-kt} {\rm d}t + C \cdot e^{-kt} \Rightarrow
$$

$$
T(t) = 20 + C \cdot e^{-kt}. ①
$$

将 $t=0$ 时 $T=120$ 代入 $①$ 式,可得:

$$
T(0) = 20 + C = 120 \Rightarrow
$$

$$
C = 100.
$$

将 $t = 30$ 时,$T = 30$, 以及 $C = 100$ 代入 $①$ 式,可得:

$$
T(30) = 20 + 100 \cdot e^{-30 k} = 30 \Rightarrow
$$

$$
100 \cdot e^{-30 k} = 10 \Rightarrow
$$

$$
10 \cdot e^{-30 k} = 1 \Rightarrow
$$

$$
e^{-30 k} = \frac{1}{10} \Rightarrow
$$

$$
(-1) \cdot 30k = \log_{e}^{10^{-1}} \Rightarrow
$$

$$
(-1) \cdot 30k = \ln{10^{-1}} \Rightarrow
$$

$$
(-1) \cdot 30k = (-1) \cdot \ln{10} \Rightarrow
$$

$$
30k = \ln{10} \Rightarrow
$$

$$
k = \frac{\ln{10}}{30}, k > 0.
$$

于是,有:

$$
T(t) = 100 e^{\frac{-\ln{10}}{30} \cdot t} + 20.
$$

则,当 $T(t) = 21$ 时,有:

$$
T(t) = 21 = 100 e^{\frac{-\ln{10}}{30} \cdot t} + 20 \Rightarrow
$$

$$
100 e^{\frac{-\ln{10}}{30} \cdot t} = 1 \Rightarrow
$$

$$
e^{\frac{-\ln{10}}{30} \cdot t} = \frac{1}{100} \Rightarrow
$$

$$
\ln 100^{-1} = \frac{-\ln{10}}{30} \cdot t \Rightarrow
$$

$$
(-1) \cdot \ln 100 = \frac{-\ln{10}}{30} \cdot t \Rightarrow
$$

$$
\ln 100 = \frac{\ln{10}}{30} \cdot t \Rightarrow
$$

$$
t = \ln 100 \cdot \frac{30}{\ln 10} \Rightarrow
$$

$$
t = 30 \cdot \log_{10}^{100} \Rightarrow
$$

$$
t = 30 \cdot 2 = 60.
$$

综上可知,若要将该物体的温度降至 $21$ ℃, 还需要冷却 $60 – 30 = 30$ 分钟。