题目
当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x$ 与 $ax^{n}$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。
解析
方法一
当 $x \rightarrow 0$ 时，由 $1- \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}$ 可知：
$$
\cos x \sim 1-\frac{1}{2} x^{2}.
$$
类推可得：
$$
\cos 2x \sim 1- \frac{1}{2} (2x)^{2} \sim 1-2 x^{2};
$$
$$
\cos 3x \sim 1-\frac{1}{2}(3x)^{2} \sim 1-\frac{9}{2}x^{2}.
$$
于是，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x =
$$
$$
1-(1-\frac{1}{2}x^{2})\cdot (1-2x^{2}) \cdot (1-\frac{9}{2}x^{2}) =
$$
$$
1-(1-2x^{2}-\frac{1}{2}x^{2} + x^{4})(1-\frac{9}{2}x^{2}).
$$
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，$x^{4}$ 远小于 $x^{2}$, 于是，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
1-(1-2x^{2}-\frac{1}{2}x^{2} + x^{4})(1-\frac{9}{2}x^{2}) =
$$
$$
1-(1-2x^{2}-\frac{1}{2}x^{2})(1-\frac{9}{2}x^{2})
$$
$$
1-(1-\frac{5}{2}x^{2})(1-\frac{9}{2}x^{2}) =
$$
$$
\frac{5+9}{2}x^{2} – \frac{5\cdot 9}{4}x^{4}.
$$
同理可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，$x^{4}$ 远小于 $x^{2}$, 即：
$$
\frac{5+9}{2}x^{2} – \frac{5\cdot 9}{4}x^{4} =
$$
$$
\frac{14}{2}x^{2} = 7x^{2}.
$$
结合题目可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，$7x^{2}$ 与 $ax^{n}$ 为等价无穷小，即：
$$
\frac{7x^{2}}{ax^{n}} = 1.
$$
于是：
$$
n=2, a=7.
$$
方法二
由于 $\cos \alpha \cdot \cos \beta =$ $\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta)]$, 于是：
$$
\cos x \cos 2x \cos 3x =
$$
$$
(\cos 2x \cos x) \cos 3x=
$$
$$
\frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x) \cos 3x =
$$
$$
\frac{1}{2} \cos 3x \cdot \cos 3x + \frac{1}{2} \cos 3x \cos x =
$$
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\cos 6x + 0) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\cos 4x + \cos 2x) =
$$
$$
\frac{1}{4} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 4x + \frac{1}{4} \cos 2x.
$$
于是，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：
$$
\frac{1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x}{ax^{n}} =
$$
$$
\frac{1- \frac{1}{4} \cos 6x – \frac{1}{4} \cos 4x – \frac{1}{4} \cos 2x}{ax^{n}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\frac{6}{4} \sin 6x + \sin 4x + \frac{1}{2} \sin 2x}{a \cdot n x^{n-1}} \Rightarrow 等价无穷小 \Rightarrow
$$
$$
\frac{9x + 4x + x}{a \cdot nx^{n-1}} =
$$
$$
\frac{14x}{a \cdot nx^{n-1}} = 1
$$
于是可知：
$$
n=2,a=7.
$$
方法三
由题可知：
$$
1-\cos x \cos 2x \cos 3x =
$$
$$
1-\cos x \cos 2x + \cos x \cos 2x – \cos x \cos 2x \cos 3x =
$$
$$
(1-\cos x) + (\cos x – \cos x \cos 2x) +
$$
$$
(\cos x \cos 2x – \cos x \cos 2x \cos 3x) =
$$
$$
(1-\cos x) + \cos x(1- \cos 2x) +
$$
$$
\cos x \cos 2x (1-\cos 3x).
$$
又，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\cos x = 1;
$$
$$
\cos x \cos 2x = 1 \cdot 1 = 1.
$$
即，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
(1-\cos x) + \cos x(1- \cos 2x) +
$$
$$
\cos x \cos 2x (1-\cos 3x)=
$$
$$
(1-\cos x) + (1- \cos 2x) + (1-\cos 3x) =
$$
$$
\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}(2x)^{2} + \frac{1}{2}(3x)^{2} =
$$
$$
\frac{1+4+9}{2}x^{2} = 7x^{2}.
$$
结合题目可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，$7x^{2}$ 与 $ax^{n}$ 为等价无穷小，即：
$$
\frac{7x^{2}}{ax^{n}} = 1.
$$
于是：
$$
n=2, a=7.
$$