2013年考研数二第15题解析：等价无穷小

题目

当 $x \to 0$ 时， $1 - \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x$ 与 $a x^{n}$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。

解析

方法一

当 $x \to 0$ 时，由 $1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ 可知：

$\cos x \sim 1 - \frac{1}{2} x^{2} .$

类推可得：

$\cos 2 x \sim 1 - \frac{1}{2} (2 x)^{2} \sim 1 - 2 x^{2};$

$\cos 3 x \sim 1 - \frac{1}{2} (3 x)^{2} \sim 1 - \frac{9}{2} x^{2} .$

于是，当 $x \to 0$ 时：

$1 - \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x =$

$1 - (1 - \frac{1}{2} x^{2}) \cdot (1 - 2 x^{2}) \cdot (1 - \frac{9}{2} x^{2}) =$

$1 - (1 - 2 x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} + x^{4}) (1 - \frac{9}{2} x^{2}) .$

由于当 $x \to 0$ 时， $x^{4}$ 远小于 $x^{2}$ , 于是，当 $x \to 0$ 时：

$1 - (1 - 2 x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} + x^{4}) (1 - \frac{9}{2} x^{2}) =$

$1 - (1 - 2 x^{2} - \frac{1}{2} x^{2}) (1 - \frac{9}{2} x^{2})$

$1 - (1 - \frac{5}{2} x^{2}) (1 - \frac{9}{2} x^{2}) =$

$\frac{5 + 9}{2} x^{2} - \frac{5 \cdot 9}{4} x^{4} .$

同理可知，当 $x \to 0$ 时， $x^{4}$ 远小于 $x^{2}$ , 即：

$\frac{5 + 9}{2} x^{2} - \frac{5 \cdot 9}{4} x^{4} =$

$\frac{14}{2} x^{2} = 7 x^{2} .$

结合题目可知，当 $x \to 0$ 时， $7 x^{2}$ 与 $a x^{n}$ 为等价无穷小，即：

$\frac{7 x^{2}}{a x^{n}} = 1.$

于是：

$n = 2, a = 7.$

方法二

由于 $\cos α \cdot \cos β =$ $\frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)]$ , 于是：

$\cos x \cos 2 x \cos 3 x =$

$(\cos 2 x \cos x) \cos 3 x =$

$\frac{1}{2} (\cos 3 x + \cos x) \cos 3 x =$

$\frac{1}{2} \cos 3 x \cdot \cos 3 x + \frac{1}{2} \cos 3 x \cos x =$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\cos 6 x + 0) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\cos 4 x + \cos 2 x) =$

$\frac{1}{4} \cos 6 x + \frac{1}{4} \cos 4 x + \frac{1}{4} \cos 2 x .$

于是，当 $x \to 0$ 时，有：

$\frac{1 - \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x}{a x^{n}} =$

$\frac{1 - \frac{1}{4} \cos 6 x - \frac{1}{4} \cos 4 x - \frac{1}{4} \cos 2 x}{a x^{n}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow$

$\frac{\frac{6}{4} \sin 6 x + \sin 4 x + \frac{1}{2} \sin 2 x}{a \cdot n x^{n - 1}} \Rightarrow 等价无穷小 \Rightarrow$

$\frac{9 x + 4 x + x}{a \cdot n x^{n - 1}} =$

$\frac{14 x}{a \cdot n x^{n - 1}} = 1$

于是可知：

$n = 2, a = 7.$

方法三

由题可知：

$1 - \cos x \cos 2 x \cos 3 x =$

$1 - \cos x \cos 2 x + \cos x \cos 2 x - \cos x \cos 2 x \cos 3 x =$

$(1 - \cos x) + (\cos x - \cos x \cos 2 x) +$

$(\cos x \cos 2 x - \cos x \cos 2 x \cos 3 x) =$

$(1 - \cos x) + \cos x (1 - \cos 2 x) +$

$\cos x \cos 2 x (1 - \cos 3 x) .$

又，当 $x \to 0$ 时：

$\cos x = 1;$

$\cos x \cos 2 x = 1 \cdot 1 = 1.$

即，当 $x \to 0$ 时：

$(1 - \cos x) + \cos x (1 - \cos 2 x) +$

$\cos x \cos 2 x (1 - \cos 3 x) =$

$(1 - \cos x) + (1 - \cos 2 x) + (1 - \cos 3 x) =$

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (2 x)^{2} + \frac{1}{2} (3 x)^{2} =$

$\frac{1 + 4 + 9}{2} x^{2} = 7 x^{2} .$

结合题目可知，当 $x \to 0$ 时， $7 x^{2}$ 与 $a x^{n}$ 为等价无穷小，即：

$\frac{7 x^{2}}{a x^{n}} = 1.$

于是：

$n = 2, a = 7.$

题目

解析

方法一

方法二

方法三

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