[高数]扩展后的三角函数代换公式

前言

在计算积分的时候,有时会需要使用三角函数代换(三角代换)的方式去掉二次根号。本文将给出一种扩展之后的三角函数代换公式,能够适用于更多的需要使用三角函数代换的计算场景,以作参考。

正文

三角函数代换的原理(目的)就是利用如下两个公式在二次根号内部形成一个单独的平方项:

$$
1 – \sin^{2} x = \cos^{2} x;
$$

$$
1 + \tan^{2} x = \sec^{2} x.
$$

于是,简略版的三角函数代换公式是这样的:

$$
\sqrt{a^{2} – x^{2}} \Rightarrow x = a \sin t;
$$

$$
\sqrt{a^{2} + x^{2}} \Rightarrow x = a \tan t;
$$

$$
\sqrt{x^{2} – a^{2}} \Rightarrow x = a \sec t.
$$

但是,上面的公式没有考虑原式中 $x^{2}$ 项的前面如果存在系数时该怎么办。于是,我推导出了如下扩展后的三角函数代换公式:

$$
\sqrt{a^{2} – b^{2} x^{2}} \Rightarrow x = \frac{a}{b} \sin t;
$$

$$
\sqrt{a^{2} + b^{2} x^{2}} \Rightarrow x = \frac{a}{b} \tan t;
$$

$$
\sqrt{x^{2} – b^{2} a^{2}} \Rightarrow x = \frac{a}{b} \sec t.
$$

总的来说,只要记住本文开头提到的使用三角函数代换的目的,就可以很自然地想到上述扩展后的三角函数代换公式。

补充

虽然,能够使用三角函数代换的题目往往会有“二次根号”和“二次方”等特征的出现,但是,在某些没有“二次方”的题目中我们也可以使用三角函数代换,因为,正如前面所说的,三角函数代换的目的或者说“精髓”就是凑出来本文开头提到的那两个公式。

在没有“二次方”的题目中,我们可以创造出“二次方”,例如,若题目中有 $\sqrt{1 – x}$, 则我们可以令 $x = \sin^{2} t$, 从而去掉原式中的根号。需要特别注意的是,在定积分中,无论使用了什么样的代换方式,都要在代换发生后及时根据代换的形式修正积分上下限,使之和原式保持等量关系。

例题:

$$
\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} = ?
$$

解答:

令 $x = \sin^{2} t$, 则:

$$
\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{8} t}{\cos t} 2 \sin t \cos t dt =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{9} t dt =
$$

$$
2 \times \frac{8}{9} \times \frac{6}{7} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times 1 =
$$

$$
\frac{256}{315}.
$$