由矩阵 AB = O 可以推出的一些结论

前言

本文将讨论在不同的情况下由 $AB=O$ 所能推导出来的一些性质。

注意：

正文中的 “$O$” 表示零矩阵，”$0$” 表示数字零。

正文

1. $AB=O$ $\Rightarrow$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$

仅由条件 $AB=O$ 能够推出 $|A|=0$ 或者 $|B|=0$.

证明：

$$AB=O\to$$

$$|AB|=|A||B|=0\Rightarrow$$

$$|A|=0;$$

或：

$$|B|=0.$$

注意：

1. 若 $B$ 可逆，即 $|B|\ne 0$, 则一定有 $|A|=0$, 而且，$A$ 是零矩阵。同理，当 $A$ 可逆时，一定有 $|B|=0$, 而且，$B$ 是零矩阵。对于此条的理解可参见下面的《3. $A$ 可逆且 $AB=O$ $\Rightarrow$ $B=O$》
2. 若 $A$ 与 $B$ 都不是零矩阵且 $A$ 与 $B$ 都不可逆，也可能有 $AB=O$. 对于此条的理解可参见下面的《2. $AB=O$ 且 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵 $\Rightarrow$ $|A|=|B|=0$》
3. 不存在 $A$ 与 $B$ 同时都可逆且 $AB=O$ 的可能。对于此条的理解同样可参见下面的《3. $A$ 可逆且 $AB=O$ $\Rightarrow$ $B=O$》

2. $AB=O$ 且 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵 $\Rightarrow$ $|A|=|B|=0$

由条件 $AB=O$ 且 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵，可以推出：

$$|A|=|B|=0.$$

注意：【$A$ 和 $B$ 都不是零矩阵】不代表 $A$ 或者 $B$ 一定可逆。

证明：

对于 $AX=0$ 而言，若存在非零解（即非零矩阵）$B$, 则一定有：

$$|A|=0.$$

同理可得：

$$|B|=0.$$

即，$|A|=|B|=0$.

3. $A$ 可逆且 $AB=O$ $\Rightarrow$ $B=O$

在多数线性代数教材中，我们总能找到类似下面这样的描述：

由 $AB=O$ 不能推出 $A=O$ 或者 $B=O$.

但是，如果我们除了知道 $AB=O$, 还知道其他一些条件，那么，就可能获知更多有用的结论。

情况一：若 $A$ 可逆且 $AB=O$ $\Rightarrow$ $B=O$;

情况二：若 $B$ 可逆且 $AB=O$ $\Rightarrow$ $A=O$.

上面这个规律我并没有严格证明，只是在做题的过程中发现存在该规律，我会在下面给出可以应用该规律的题目。需要注意的是，本节上述规律只能用于解题过程中的辅助判断。

我对于本节中上述规律的理解是这样的（以情况一为例）：

在 $A$ 可逆的情况下，若 $AB=O$ 中的 $B$ 不是零矩阵，而仅仅是一个不可逆但非零矩阵的矩阵，即 $B$ 中至少存在一个不等于 $0$ 的元素，也就是说，必有 $r(B)⩾1$. 那么，我们知道，$B$ 左乘一个可逆矩阵只相当于对 $B$ 做了一系列的初等行变换，而初等变换是不改变矩阵的秩的，因此，一定有：$r(AB)⩾1$. 但是，零矩阵的秩必须为零，所以 $B$ 必须为零矩阵。

相关题目一：

$A$ 为 $n$ 阶矩阵，满足 $A^2–3A–2E=O$, 则 $A^{-1}=?$

解法一（不使用本节的规律）：

因为：

$$A(A–3E)=2E\Rightarrow$$

$$A\frac{1}{2}(A–3E)=E$$

所以：

$$A^{-1}=\frac{1}{2}(A–3E).$$

解法二（使用本节的规律）：

因为：

$$A^2–3A–2E=O\Rightarrow$$

$$A^2–3A–2A{A}^{-1}=O\Rightarrow$$

$$A(A–3E–2A^{-1})=O.$$

又由于要求的是 $A^{-1}$, 所以 $A$ 一定可逆，因此，根据本节的规律，有：

$$A–3E–2A^{-1}=O\Rightarrow$$

$$A–3E=2A^{-1}\Rightarrow$$

$$A^{-1}=\frac{1}{2}(A–3E).$$

相关题目二：

已知 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，${\alpha }_1.{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为 $n$ 维列向量且线性无关。证明：$A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3$ 线性无关。

设：

$$k_{1}A{\alpha }_1+k_{2}A{\alpha }_2+k_{3}A{\alpha }_3=O\Rightarrow$$

$$A(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3)=O\Rightarrow \mathrm{①}$$

$$A^{-1}A(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3)=O\Rightarrow$$

$$(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3)=O.\mathrm{②}$$

注意：

由于 $A$ 是可逆的，因此，根据本节的规律，由 $\mathrm{①}$ 式直接可得 $\mathrm{②}$ 式。

又因为 ${\alpha }_1.{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，所以，$k_1,k_2,k_3$ 不全为零，于是，$A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3$ 线性无关。

总结

综上，我们可以初步总结出下面这样的规律：

【零】矩阵 $\times$ 【可逆】矩阵 = $O$;

【可逆】矩阵 $\times$ 【零】矩阵 = $O$;

存在，【不可逆且非零】矩阵 $\times$ 【不可逆且非零】矩阵 = $O$.

即：

若两个矩阵相乘能得到一个零矩阵，则这两个矩阵中至少有一个必须是不可逆矩阵。

注意：上述规律只是一种基于实践的总结，没有经过严格的逻辑证明。

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