前言
本文将讨论在不同的情况下由 $AB = O$ 所能推导出来的一些性质。
注意：
正文中的 “$O$” 表示零矩阵，”$0$” 表示数字零。
正文
1. $AB=O$ $\Rightarrow$ $|A| = 0$ 或 $|B|=0$
仅由条件 $AB = O$ 能够推出 $|A| = 0$ 或者 $|B| = 0$.
证明：
$$
AB = O \rightarrow
$$
$$
|AB| = |A| |B| = 0 \Rightarrow
$$
$$
|A| = 0 ;
$$
或：
$$
|B| = 0.
$$
注意：
- 若 $B$ 可逆，即 $|B| \neq 0$, 则一定有 $|A| = 0$, 而且，$A$ 是零矩阵。同理，当 $A$ 可逆时，一定有 $|B| = 0$, 而且，$B$ 是零矩阵。对于此条的理解可参见下面的《3. $A$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $B = O$》
- 若 $A$ 与 $B$ 都不是零矩阵且 $A$ 与 $B$ 都不可逆，也可能有 $AB=O$. 对于此条的理解可参见下面的《2. $AB=O$ 且 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵 $\Rightarrow$ $|A| = |B| = 0$》
- 不存在 $A$ 与 $B$ 同时都可逆且 $AB = O$ 的可能。对于此条的理解同样可参见下面的《3. $A$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $B = O$》
2. $AB=O$ 且 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵 $\Rightarrow$ $|A| = |B| = 0$
由条件 $AB = O$ 且 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵，可以推出：
$$
|A| = |B| = 0.
$$
注意：【$A$ 和 $B$ 都不是零矩阵】不代表 $A$ 或者 $B$ 一定可逆。
证明：
对于 $AX=0$ 而言，若存在非零解（即非零矩阵）$B$, 则一定有：
$$
|A| = 0.
$$
同理可得：
$$
|B| = 0.
$$
即，$|A| = |B| = 0$.
3. $A$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $B = O$
在多数线性代数教材中，我们总能找到类似下面这样的描述：
由 $AB = O$ 不能推出 $A = O$ 或者 $B = O$.
但是，如果我们除了知道 $AB = O$, 还知道其他一些条件，那么，就可能获知更多有用的结论。
情况一：若 $A$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $B = O$;
情况二：若 $B$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $A = O$.
上面这个规律我并没有严格证明，只是在做题的过程中发现存在该规律，我会在下面给出可以应用该规律的题目。需要注意的是，本节上述规律只能用于解题过程中的辅助判断。
我对于本节中上述规律的理解是这样的（以情况一为例）：
在 $A$ 可逆的情况下，若 $AB = O$ 中的 $B$ 不是零矩阵，而仅仅是一个不可逆但非零矩阵的矩阵，即 $B$ 中至少存在一个不等于 $0$ 的元素，也就是说，必有 $r(B) \geqslant 1$. 那么，我们知道，$B$ 左乘一个可逆矩阵只相当于对 $B$ 做了一系列的初等行变换，而初等变换是不改变矩阵的秩的，因此，一定有：$r(AB) \geqslant 1$. 但是，零矩阵的秩必须为零，所以 $B$ 必须为零矩阵。
相关题目一：
$A$ 为 $n$ 阶矩阵，满足 $A^{2} – 3A – 2E = O$, 则 $A^{-1} = ?$
解法一（不使用本节的规律）：
因为：
$$
A ( A – 3E ) = 2E \Rightarrow
$$
$$
A \frac{1}{2}( A – 3E ) = E
$$
所以：
$$
A^{-1} = \frac{1}{2}( A – 3E ).
$$
解法二（使用本节的规律）：
因为：
$$
A^{2} – 3A – 2E = O \Rightarrow
$$
$$
A^{2} – 3A – 2AA^{-1} = O \Rightarrow
$$
$$
A(A – 3E – 2A^{-1}) = O.
$$
又由于要求的是 $A^{-1}$, 所以 $A$ 一定可逆，因此，根据本节的规律，有：
$$
A – 3E – 2A^{-1} = O \Rightarrow
$$
$$
A – 3E = 2A^{-1} \Rightarrow
$$
$$
A^{-1} = \frac{1}{2}( A – 3E ).
$$
相关题目二：
已知 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\alpha_{1}. \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为 $n$ 维列向量且线性无关。证明：$A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, A\alpha_{3}$ 线性无关。
设：
$$
k_{1}A\alpha_{1} + k_{2}A\alpha_{2} + k_{3}A\alpha_{3} = O \Rightarrow
$$
$$
A(k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + k_{3}\alpha_{3}) = O \Rightarrow ①
$$
$$
A^{-1}A(k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + k_{3}\alpha_{3}) = O \Rightarrow
$$
$$
(k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + k_{3}\alpha_{3}) = O. ②
$$
注意：
由于 $A$ 是可逆的，因此，根据本节的规律，由 $①$ 式直接可得 $②$ 式。
又因为 $\alpha_{1}. \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，所以，$k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 不全为零，于是，$A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, A\alpha_{3}$ 线性无关。
总结
综上，我们可以初步总结出下面这样的规律：
【零】矩阵 $\times$ 【可逆】矩阵 = $O$;
【可逆】矩阵 $\times$ 【零】矩阵 = $O$;
存在，【不可逆且非零】矩阵 $\times$ 【不可逆且非零】矩阵 = $O$.
即：
若两个矩阵相乘能得到一个零矩阵，则这两个矩阵中至少有一个必须是不可逆矩阵。
注意：上述规律只是一种基于实践的总结，没有经过严格的逻辑证明。
EOF