2012年考研数二第09题解析

题目

设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^{2}-y+1=e^{y}$ 所确定的隐函数,则 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}|_{x=0} = ?$

解析

把 $x=0$ 代入 $x^{2}-y+1=e^{y}$ 得:

$$
y=0.
$$

在 $x^{2}-y+1=e^{y}$ 两端求一阶导,得:

$$
2x – \frac{dy}{dx} = e^{y} \frac{dy}{dx} ①
$$

在 $①$ 式两端继续对 $x$ 求导,得:

$$
2 – \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{y} (\frac{dy}{dx})^{2} + \frac{d^{2}y}{dx^{2}} ②
$$

将 $x=0, y=0$ 代入 $①$ 式,得:

$$
\frac{dy}{dx} = 0.
$$

将 $x=0, y=0$ 和 $\frac{dy}{dx} = 0$ 代入 $②$ 式,得:

$$
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 1.
$$

综上可知,正确答案为 $1$.

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