题目
设 $I_{k} = \int_{0}^{k \pi} e^{x^{2}} \sin x dx$ $(k=1,2,3)$, 则有 $?$
$$
A. I_{1} < I_{2} < I_{3}
$$
$$
B. I_{3} < I_{2} < I_{1}
$$
$$
C. I_{2} < I_{3} < I_{1}
$$
$$
D. I_{2} < I_{1} < I_{3}
$$
解析
根据已知条件，我们可以画出函数 $y=e^{x^{2}}$ 的大致图像，如图 1 所示：
将 $y=e^{x^{2}}$ 和 $y=\sin x$ 画在一个坐标系内得到的大致图像如图 2 所示：
由图像可知，在 $[0, \pi]$ 区间内对 $y = e^{x^{2}} \sin x$ 进行积分时，由于 $y = e^{x^{2}}$ 和 $y = \sin x$ 的图像都是位于 $x$ 轴上方的，因此，$y=e^{x^{2}} \sin x$ 的积分值大于零，即 $I_{1}>0$.
在 $[\pi, 2 \pi]$ 区间内对 $y=e^{x^{2}} \sin x$ 进行积分时，由于 $y=e^{x^{2}}$ 的图像位于 $x$ 轴上方，$y=\sin x$ 的图像位于 $x$ 轴下方，且由于 $y=e^{x^{2}}$ 增长较快，因此 $y=e^{x^{2}} \sin x$ 在 $[\pi, 2\pi]$ 区间内的积分值是一个较大的负数，因此，$y=e^{x^{2}} \sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的积分值小于零，即 $I_{2}<0$.
同理可推测，由于 $y=e^{x^{2}}$ 增长较快，$y=e^{x^{2}} \sin x$ 在 $[2\pi, 3\pi]$ 上的积分值是一个较大的数，再加上 $y=e^{x^{2}} \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 区间内的正数积分值能够抵消一部分 $y=e^{x^{2}} \sin x$ 在 $[\pi, 2\pi]$ 区间内的负数积分值，因此 $I_{3}>0$ 且 $I_{3}$ 【很可能】比 $I_{2}$ 大。
于是有：
$$
I_{2} < I_{1} < I_{3}.
$$
综上可知，正确选项为 $D$.
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