[线代]对矩阵进行初等行或列变换时的一个计算技巧

前言

对矩阵进行初等行变换或者初等列变换是解线性代数题目的一个基本操作之一。通常情况下，如果我们被允许任意使用初等行变换以及初等列变换而且进行这些初等变换的目标是将一个矩阵的特定元素化成 $0$ 或者 $1$ 的话，那么，我们一般可以通过观察法得知该如何进行所需的初等变换。但是，当我们只能使用初等行变换或者只能使用初等列变换，而且做这些初等行或列变换的目标是把一个矩阵化成另一个矩阵（“另一个矩阵”中的元素可能是任意实数），不是简单地转化成 $0$ 或 $1$ 的时候，在某些情况下，就很难直接通过观察法获知该如何进行这些初等行或列变换。

在本文中，我将通过一个例子，简单介绍一种我在做题时发现的做初等行或列变换的计算技巧。

题目

设 $A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 2\\ 3& 2& 2\end{array}\right|$ 经过有限次的初等行变换转化为 $B=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 2& -2\\ 2& 3& -2\end{array}\right|$, 求一个可逆的矩阵 $P$, 使 $PA=B$.

计算示例

关于上面这道题目的解法分析，可以在下面这篇文章中【例一】部分找到：

《[线代]通过把单位矩阵$E$看作一张白纸或原点来理解一些做题思路》

本文主要介绍该题目的计算过程。

$$(A,E)\to (B,P)\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccccccc}1& 1& 0& |& 1& 0& 0\\ 1& 0& 2& |& 0& 1& 0\\ 3& 2& 2& |& 0& 0& 1\end{array}\right|\Rightarrow$$

$$\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{第}1\mathrm{行}\mathrm{与}\mathrm{第}2\mathrm{行}\mathrm{的}\mathrm{顺}\mathrm{序}\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccccccc}1& 0& 2& |& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& |& 1& 0& 0\\ 3& 2& 2& |& 0& 0& 1\end{array}\right|\Rightarrow$$

$$\mathrm{第}2\mathrm{行}\times 2–\mathrm{第}1\mathrm{行}\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccccccc}1& 0& 2& |& 0& 1& 0\\ 1& 2& -2& |& 2& -1& 0\\ 3& 2& 2& |& 0& 0& 1\end{array}\right|\Rightarrow$$

上式中左半部分的前两行已经和 $B$ 中的前两行对应相等了，因此，上式中的第三行是不需要改变位置的，只需要让上式中的第三行和上式中的前两行做一些初等行变换，使得 $3,2,2$ 变成 $2,3,-2$ 即可。

但是，对于第三行要和前两行作哪些初等行变换才能变成 $2,3,-2$ 却很难用观察法看出来。

对此，我们可以用下面这个计算技巧算出来要做哪些行变换。

下面这种计算技巧可以用在单独的一次初等行变换或者列变换中，所要求的前提条件就是要知道变换的目标是什么，也就是要变成什么。

对于本题，我们的变换目标就是把 $3,2,2$ 变成 $2,3,-2$, 即：

$$3+(-1)\Rightarrow 2;$$

$$2+(1)\Rightarrow 3;$$

$$2+(-4)\Rightarrow -2.$$

即前面两行 $1,0,2$ 和 $1,2,-2$ 的作用就是为第三行的 $3,2,2$ 提供 $-1,1,-4$ 这三个数字，有了这三个数字，$3,2,2$ 就可以变成 $2,3,-2$ 了。

于是，我们设有未知数 $k$ 和 $b$, 进而有：

$$k\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\end{array}\right|+$$

$$b\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -2\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& -4\end{array}\right|.$$

即：

$$k+b=-1;\mathrm{①}$$

$$2b=1;\mathrm{②}$$

$$2k-2b=-4.\mathrm{③}$$

通过 $\mathrm{①}$, $\mathrm{②}$, $\mathrm{③}$ 这三个式子，我们可以确定：

$$k=–\frac{3}{2};$$

$$b=\frac{1}{2}.$$

于是，我们知道，第 $1$ 行 $\times$ $-\frac{3}{2}$ + 第 $2$ 行 $\times$ $\frac{1}{2}$ + 第三行 就可以得到 $2,3,-2$ 了，至此，计算结束。

注意：上面的计算方法不是一成不变的，必要时我们可以再多设几个未知数。例如，在本题中，如果第三行本身还需要进行一些倍数上的变换，那么仅给前两行设两个未知数是不够的，此时可以给第三行也设一个未知数，然后通过解方程组的方式算出来这三个未知数即可。

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