题目
设函数 $f(x)$ 连续，$\varphi (x) = \int_{0}^{x^{2}} x f(t)dt$. 若 $\varphi (1) = 1$, $\varphi^{‘} (1) = 5$, 则 $f(1)=?$
解析
已知：
$$
\varphi (x) = x \int_{0}^{x^{2}} f(t)dt.
$$
$$
\varphi^{‘}(x) = \int_{0}^{x^{2}} f(t)dt + x \cdot f(x^{2}) \cdot 2x.
$$
且：
$$
\varphi (1) = \int_{0}^{1}f(t)dt = 1. ①
$$
$$
\varphi^{‘}(1) = \int_{0}^{1}f(t)dt + 2f(1) = 5. ②
$$
联立 $①$, $②$ 两式可知：
$$
1+2f(1) = 5 \Rightarrow
$$
$$
2f(1) = 4 \Rightarrow
$$
$$
f(1) = 2.
$$
综上可知，正确答案为 $2$.
EOF