题目
编号：A2016212
已知函数 $f(x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上连续，且 $f(x) = (x+1)^{2} + 2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t$, 则当 $n \geqslant 2$ 时，$f^{(n)}(0) = ?$
解析
方法一：
由于要求的是 $n$ 阶导，因此，本题应该具有某种规律，因此，多计算几阶导总结一下规律即可。
$$
f(0) =
$$
$$
1 + 2 \int_{0}^{0} f(t) \mathrm{~d} t =
$$
$$
1+0=0.
$$
$$
f^{(1)}(0) =
$$
$$
0+2+2.
$$
$$
f^{(2)}(0) =
$$
$$
2+2 \times 4 = 2 + 2^{3}.
$$
$$
f^{(3)} (0) =
$$
$$
2(2 + 2^{3}) = 2^{2} + 2^{4}.
$$
于是，可推知：
$$
f^{(n)}(0) = 2^{n-1} + 2^{n+1}.
$$
注意：根据不同的描述规律的方式，上述结果可能有所不同，但当 $n$ 的取值相同时，不同的正确描述方式所得到的结果都是一样的。
方法二：
对题目中给出的式子求一阶导之后可以发现得到了一个微分方程。于是，我们可以通过对微分方程求解的方式得到原方程 $f(x)$, 之后，再对 $f(0)$ 求导找到规律。
由题得：
$$
f(0) = 1.
$$
$$
f^{\prime} = 2x + 2 + 2f \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime} = 2(x+1) + 2f \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime} – 2f = 2(x+1).
$$
上述一阶线性微分方程的解为：
$$
f = [\int 2(x+1) \mathrm{e}^{\int -2 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C] \mathrm{e}^{- \int -2 \mathrm{~d} x}. ①
$$
其中：
$$
\int 2(x+1) \mathrm{e}^{\int -2 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$
$$
\int (2x + 2) \mathrm{e}^{\int -2 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$
$$
\int (2x + 2) \mathrm{e}^{\int -2 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x \Rightarrow 分部积分 \Rightarrow
$$
$$
(\mathrm{e}^{\int -2 \mathrm{~d} x})^{\prime} = (-2) \mathrm{e}^{-2x} \Rightarrow
$$
注意，由于 $①$ 式中已经加了一个常数 $C$, 因此，上式中写的是 $\mathrm{e}^{-2x}$ 而不是 $\mathrm{e}^{-2x + C}$.
$$
(- \frac{1}{2}) \int (2x + 2) \mathrm{~d}(\mathrm{e}^{-2x}) =
$$
$$
(-\frac{1}{2}) [(2x + 2) \mathrm{e}^{-2x} – (-1) \int \mathrm{e}^{-2x} \mathrm{~d} (-2x)] =
$$
$$
(- \frac{1}{2}) [(2x + 2) \mathrm{e}^{-2x} + \mathrm{e}^{-2x}] =
$$
$$
(- \frac{1}{2}) [(2x + 3) \mathrm{e}^{-2x}] =
$$
$$
(-x – \frac{3}{2}) \mathrm{e}^{-2x}
$$
于是：
$$
f = [\int 2(x+1) \mathrm{e}^{\int -2 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C]e^{- \int -2 \mathrm{~d} x} \Rightarrow
$$
$$
[(-x – \frac{3}{2}) \mathrm{e}^{-2x} + C] \mathrm{e}^{2x} \Rightarrow
$$
$$
(-x-\frac{3}{2}) + C \mathrm{e}^{2x}.
$$
即：
$$
f=C \mathrm{e}^{2x} – x – \frac{3}{2}.
$$
又 $f(0) = 1$, 则：
$$
1= C – 0 – \frac{3}{2} \Rightarrow
$$
$$
C = \frac{5}{2}.
$$
即：
$$
f(x) = \frac{5}{2} \mathrm{e}^{2x} – x – \frac{3}{2}.
$$
$$
f^{(1)}(x) = 5 \mathrm{e}^{2x} – 1.
$$
$$
f^{(2)}(x) = 5 \times 2 \mathrm{e}^{2x}.
$$
$$
f^{(3)}(x) = 5 \times 2 \times 2 \mathrm{e}^{2x}.
$$
$$
f^{(4)}(x) = 5 \times 2 \times 2 \times 2 \mathrm{e}^{2x}.
$$
$$
…
$$
$$
f^{(n)}(x) = 5 \times 2^{n-1} \mathrm{e}^{2x}.
$$
于是：
$$
f^{(n)}(0) = 5 \times 2^{n-1}.
$$
综上可知，正确答案为 $2^{n-1} + 2^{n+1}$ 或 $5 \times 2^{n-1}$ （写一个即可）。
EOF