2016年考研数二第12题解析

题目

已知函数 $f(x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上连续,且 $f(x) = (x+1)^{2} + 2 \int_{0}^{x} f(t)dt$, 则当 $n \geqslant 2$ 时,$f^{(n)}(0) = ?$

解析

方法一:

由于要求的是 $n$ 阶导,因此,本题应该具有某种规律,因此,多计算几阶导总结一下规律即可。

$$
f(0) =
$$

$$
1 + 2 \int_{0}^{0} f(t)dt =
$$

$$
1+0=0.
$$

$$
f^{(1)}(0) =
$$

$$
0+2+2.
$$

$$
f^{(2)}(0) =
$$

$$
2+2 \times 4 = 2 + 2^{3}.
$$

$$
f^{(3)} (0) =
$$

$$
2(2 + 2^{3}) = 2^{2} + 2^{4}.
$$

于是,可推知:

$$
f^{(n)}(0) = 2^{n-1} + 2^{n+1}.
$$

注意:根据不同的描述规律的方式,上述结果可能有所不同,但当 $n$ 的取值相同时,不同的正确描述方式所得到的结果都是一样的。

方法二:

对题目中给出的式子求一阶导之后可以发现得到了一个微分方程。于是,我们可以通过对微分方程求解的方式得到原方程 $f(x)$, 之后,再对 $f(0)$ 求导找到规律。

由题得:

$$
f(0) = 1.
$$

$$
f^{‘} = 2x + 2 + 2f \Rightarrow
$$

$$
f^{‘} = 2(x+1) + 2f \Rightarrow
$$

$$
f^{‘} – 2f = 2(x+1).
$$

上述一阶线性微分方程的解为:

$$
f = [\int 2(x+1)e^{\int -2dx}dx + C]e^{- \int -2 dx}. ①
$$

其中:

$$
\int 2(x+1)e^{\int -2dx}dx \Rightarrow
$$

$$
\int (2x + 2)e^{\int -2dx}dx \Rightarrow
$$

$$
\int (2x + 2)e^{\int -2 dx}dx \Rightarrow 分部积分 \Rightarrow
$$

$$
(e^{\int -2dx})^{‘} = (-2)e^{-2x} \Rightarrow
$$

注意,由于 $①$ 式中已经加了一个常数 $C$, 因此,上式中写的是 $e^{-2x}$ 而不是 $e^{-2x + C}$.

$$
(- \frac{1}{2}) \int (2x + 2)d(e^{-2x}) =
$$

$$
(-\frac{1}{2}) [(2x + 2)e^{-2x} – (-1) \int e^{-2x}d(-2x)] =
$$

$$
(- \frac{1}{2}) [(2x + 2)e^{-2x} + e^{-2x}] =
$$

$$
(- \frac{1}{2}) [(2x + 3)e^{-2x}] =
$$

$$
(-x – \frac{3}{2})e^{-2x}
$$

于是:

$$
f = [\int 2(x+1)e^{\int -2dx}dx + C]e^{- \int -2 dx} \Rightarrow
$$

$$
[(-x – \frac{3}{2})e^{-2x} + C]e^{2x} \Rightarrow
$$

$$
(-x-\frac{3}{2}) + C e^{2x}.
$$

即:

$$
f=C e^{2x} – x – \frac{3}{2}.
$$

又 $f(0) = 1$, 则:

$$
1= C – 0 – \frac{3}{2} \Rightarrow
$$

$$
C = \frac{5}{2}.
$$

即:

$$
f(x) = \frac{5}{2} e^{2x} – x – \frac{3}{2}.
$$

$$
f^{(1)}(x) = 5e^{2x} – 1.
$$

$$
f^{(2)}(x) = 5 \times 2 e^{2x}.
$$

$$
f^{(3)}(x) = 5 \times 2 \times 2 e^{2x}.
$$

$$
f^{(4)}(x) = 5 \times 2 \times 2 \times 2e^{2x}.
$$

$$

$$

$$
f^{(n)}(x) = 5 \times 2^{n-1} e^{2x}.
$$

于是:

$$
f^{(n)}(0) = 5 \times 2^{n-1}.
$$

综上可知,正确答案为 $2^{n-1} + 2^{n+1}$ 或 $5 \times 2^{n-1}$ (写一个即可)。

EOF