2018年考研数二第07题解析：相似矩阵

一、题目

二、解析

考研大纲中目前并不要求判断两个一般的矩阵是否相似，只需要会判断一个矩阵是否和一个对角矩阵相似即可，本题考查的就是这种类型。

为了接下来的解题方便，我们首先声明如下。

令：

$$
\boldsymbol{M} = \begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$

$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$

$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$

$$
\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$

$$
\boldsymbol{D} = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}.
$$

由于相似的矩阵必然拥有相同的特征值，因此，我们先看一看这五个矩阵的特征值是否相同。

由于对着五个矩阵做线性变换较简单，因此，以下式子直接写出结果，具体的变换过程就略去了。

$$
\boldsymbol{M} = \begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$\boldsymbol{M}$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$\boldsymbol{B}$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$
\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$\boldsymbol{C}$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$
\boldsymbol{D} = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$\boldsymbol{D}$ 的特征值为 $1,1,1$.

如果两个矩阵的特征值不同，那么这两个矩阵一定不相似。

通过上面的计算可知，$\boldsymbol{M}$的特征值 与 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 的特征值都是相同的。因此，通过特征值这一项无法排除任何选项。这个时候，我们就需要使用其他性质做进一步的判断。

我们知道，两个矩阵相似能推出的另一个性质就是他们拥有相同的特征多项式，即：

$$
| \boldsymbol{A} – \lambda _{1} \boldsymbol{E} | = |\boldsymbol{B} – \lambda _{1} \boldsymbol{E} |
$$

或者：

$$
|\lambda _{1} \boldsymbol{E } – \boldsymbol{A}| = |\lambda _{1} \boldsymbol{E} – \boldsymbol{B}|
$$

推广知可得，相同的特征多项式对应的矩阵必然具体有相同的秩，于是，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似则必有：

$$
\mathrm{r} (\boldsymbol{A} – \lambda _{1} \boldsymbol{E}) = \mathrm{r} (\boldsymbol{B} – \lambda _{1} \boldsymbol{E})
$$

或者：

$$
\mathrm{r} (\lambda _{1} \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) = \mathrm{r} (\lambda _{1} \boldsymbol{E} – \boldsymbol{B})
$$

又由题知：

$$
1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{M} =
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
–
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1& 1& 0\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{r} (1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{M})=2.
$$

$$
1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} =
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix}
1& 1& -1\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
$$

$$=$$

$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 1\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{r} (1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A})=2.
$$

注意：从这里也可以看出，$|1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{M}| = |1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}|$

$$
1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{B} =
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1|
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
1& 0& -1\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}=
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{r} (1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{B})=1.
$$

$$
1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{C} =
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix}
1& 1& -1\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}=
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 1\\
0& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{r} (1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{C})=1.
$$

$$
1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{D} =
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix}
1& 0& -1\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}=
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{r} (1 \cdot \boldsymbol{E} – \boldsymbol{D})=1
$$

综上可知，正确选项为 $⟨A⟩$.

EOF

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