2018年考研数二第07题解析

题目

下列矩阵中,与矩阵 $\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ 相似的为 $?$

$$A. \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

$$B. \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

$$C. \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

$$D. \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

解析

考研大纲中目前并不要求判断两个一般的矩阵是否相似,只需要会判断一个矩阵是否和一个对角矩阵相似即可,本题考查的就是这种类型。

为了接下来的解题方便,我们首先声明如下。

令:

$$
M = \begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$

$$
A = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$

$$
B = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$

$$
C = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$

$$
D = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}.
$$

由于相似的矩阵必然拥有相同的特征值,因此,我们先看一看这五个矩阵的特征值是否相同。

由于对着五个矩阵做线性变换较简单,因此,以下式子直接写出结果,具体的变换过程就略去了。

$$
M = \begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$M$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$
A = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$A$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$
B = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$B$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$
C = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$C$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$
D = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$D$ 的特征值为 $1,1,1$.

如果两个矩阵的特征值不同,那么这两个矩阵一定不相似。

通过上面的计算可知,$M$的特征值 与 $A,B,C,D$ 的特征值都是相同的。因此,通过特征值这一项无法排除任何选项。这个时候,我们就需要使用其他性质做进一步的判断。

我们知道,两个矩阵相似能推出的另一个性质就是他们拥有相同的特征多项式,即:

$$
| A-\lambda _{1} E | = |B- \lambda _{1} E |.
$$

或者:

$$
|\lambda _{1} E – A| = |\lambda _{1} E – B|.
$$

推广知可得,相同的特征多项式对应的矩阵必然具体有相同的秩,于是,若 $A$ 与 $B$ 相似则必有:

$$
r(A-\lambda _{1} E) = r(B- \lambda _{1} E).
$$

或者:

$$
r(\lambda _{1} E – A) = r(\lambda _{1} E – B).
$$

又由题知:

$$
1 \cdot E-M=
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1

\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1& 1& 0\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
r(1 \cdot E-M)=2.
$$

$$
1 \cdot E-A=
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
1& 1& -1\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
$$

$$=$$

$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 1\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
r(1 \cdot E-A)=2.
$$

注意:从这里也可以看出,$|1 \cdot E-M|=|1 \cdot E-A|.$

$$
1 \cdot E-B=
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1|
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
1& 0& -1\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}=
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
r(1 \cdot E-B)=1.
$$

$$
1 \cdot E-C=
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}|

\begin{pmatrix}
1& 1& -1\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}=
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 1\\
0& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
r(1 \cdot E-C)=1.
$$

$$
1 \cdot E-D=
$$

$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
1& 0& -1\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}=
$$

$$
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$

$$
r(1 \cdot E-D)=1
$$

综上可知,正确选项为 $A$.

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作者: zhaokaifeng.com

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