一、题目
$$
\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y +\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y = ?
$$
⟨A⟩. $\frac{5}{3}$
⟨B⟩. $\frac{5}{6}$
⟨C⟩. $\frac{7}{3}$
⟨D⟩. $\frac{7}{6}$
二、解析
§2.1 方法一
本方法就是直接算，先对 $y$ 求积分，再对 $x$ 求积分。
由于直接计算过程较繁琐，因此，计算过程中要格外仔细，最好每一步都回头检查一下。
由于：
$$
\int_{-x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y =
$$
$$
\left. y-\frac{1}{2} y^{2}x \right|_{-x}^{2-x^{2}} =
$$
$$
\left[2 – x^{2} – \frac{1}{2} \left(2 – x^{2} \right)^{2} x \right] – \left[- x – \frac{1}{2}(-x)^{2}x \right]=
$$
$$
\left[2 – x^{2} – \frac{1}{2}x \left(4+x^{4}-4x^{2} \right) \right] – \left[-x-\frac{1}{2}x^{3} \right] =
$$
$$
2-x^{2} – 2x – \frac{1}{2}x^{5} + 2x^{3} + x + \frac{1}{2}x^{3} =
$$
$$
2-x^{2}-x + \frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{2}x^{5}.
$$
于是：
$$
\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y =
$$
$$
\int_{-1}^{0} \left(2-x^{2}-x + \frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{2}x^{5} \right) \mathrm{~d} x =
$$
$$
\left. 2x – \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}x^{4} – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} x^{6} \right|_{-1}^{0} =
$$
$$
\left[0 \right] – \left[-2 + \frac{1}{3} -\frac{1}{2} + \frac{5}{8} – \frac{1}{12} \right] =
$$
$$
2 – \frac{1}{3} + \frac{1}{2} – \frac{5}{8} + \frac{1}{12} = \frac{13}{8}.
$$
又由于：
$$
\int_{x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y =
$$
$$
\left. y-\frac{1}{2}y^{2}x \right|_{x}^{2-x^{2}} =
$$
$$
\left[2 – x^{2} – \frac{1}{2}x \left(2-x^{2} \right)^{2} \right] – \left[x – \frac{1}{2}x^{3} \right] =
$$
$$
\left[2 – x^{2} – \frac{1}{2}x \left(4+x^{4}-4x^{2} \right) \right] – x + \frac{1}{2}x^{3} =
$$
$$
2 – x^{2} – 2x – \frac{1}{2} x^{5} + 2x^{3} – x + \frac{1}{2}x^{3} =
$$
$$
2-x^{2}-3x+\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{2}x^{5} =
$$
于是：
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y=
$$
$$
\int_{0}^{1} 2-x^{2}-3x+\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{2}x^{5} \mathrm{~d} x =
$$
$$
\left. 2x – \frac{1}{3}x^{3} – 3 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}x^{4} – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} x^{6} \right|_{0}^{1} =
$$
$$
\left[2 – \frac{1}{3} – \frac{3}{2} + \frac{5}{8} – \frac{1}{12} \right] – \left[0 \right] = \frac{17}{24}
$$
所以：
$$
原式 = \frac{13}{8} + \frac{17}{24} = \frac{7}{3}.
$$
综上可知，正确选项为 $C$.
§2.2 方法二
本题也可以通过一些化简之后再进行计算。
本题是计算二重积分，而且式子中“$+$”号两侧的被积函数都是相同的，因此，可以尝试画出积分区域 $D$, 看是否可以化简。
由题可知，积分区域 $D=$:
$$
\{ \left(x, y \right) | -1 \leqslant x \leqslant 0, -x \leqslant y \leqslant 2-x^{2} \}
$$
$$
\cup \{ \left(x, y \right) | 0 \leqslant x \leqslant 1, x \leqslant y \leqslant 2-x^{2} \}
$$
画出图形如 图 01 所示：
由图可知，积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称。又因为，在 $1-xy$ 中，$xy$ 关于 $x$ 为奇函数，$1$ 关于 $x$ 为偶函数，于是：
$$
\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y +\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} (1-xy) \mathrm{~d} y=
$$
$$
\iint_{D} \left(1-xy \right) \mathrm{~d}x \mathrm{~d}y=
$$
$$
\iint_{D} 1 \mathrm{~d}x \mathrm{~d}y – \iint_{D} xy \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y =
$$
$$
\iint_{D} 1 \mathrm{~d}x \mathrm{~d} y – 0 =
$$
$$
2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d}x \int_{x}^{2-x^{2}} 1 \mathrm{~d} y =
$$
$$
2 \int_{0}^{1} \left(2-x^{2}-x \right) \mathrm{~d} x =
$$
$$
\left. 2 \cdot \left(2x – \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \right|_{0}^{1} =
$$
$$
2 \cdot \left(2 – \frac{1}{3} – \frac{1}{2} – 0 \right)=
$$
$$
2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{3}.
$$
综上可知，正确选项为 $C$.
EOF
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