[高数]GS-2020-05-30-01

题目

求函数 $y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 的反函数.

解析

由对数函数的性质得：

$$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})\Rightarrow x+\sqrt{x^2+1}=e^y.(1)$$

又：

$$(-x+\sqrt{x^2+1})(x+\sqrt{x^2+1})=1.$$

若两数相乘等于 $1$, 则这两个数互为倒数，则：

$$-x+\sqrt{x^2+1}=e^{-y}.(2)$$

$(1)-(2):$

$$2x=e^y-e^{-y}\Rightarrow x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}.$$

这里需要注意的是，在大学高数中，若 $y=f(x)$ 存在反函数，则其反函数为 $x=f^{-1}(y),$ 即不用将 $x$ 和 $y$ 对调。因此，$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$ 就是正确答案。

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