题目
求函数 $y=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ 的反函数.
解析
由对数函数的性质得：
$$y=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}) \Rightarrow x + \sqrt{x^{2}+1}=e^{y}.(1)$$
又：
$$(-x+\sqrt{x^{2}+1})(x+\sqrt{x^{2}+1})=1.$$
若两数相乘等于 $1$, 则这两个数互为倒数，则：
$$-x+\sqrt{x^{2}+1}=e^{-y}.(2)$$
$(1)-(2):$
$$2x=e^{y}-e^{-y} \Rightarrow x = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.$$
这里需要注意的是，在大学高数中，若 $y=f(x)$ 存在反函数，则其反函数为 $x=f^{-1}(y),$ 即不用将 $x$ 和 $y$ 对调。因此，$x = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$ 就是正确答案。
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