[高数]GS-2020-05-30-01

题目

求函数 $y=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ 的反函数.

解析

由对数函数的性质得:

$$y=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}) \Rightarrow x + \sqrt{x^{2}+1}=e^{y}.(1)$$

又:

$$(-x+\sqrt{x^{2}+1})(x+\sqrt{x^{2}+1})=1.$$

若两数相乘等于 $1$, 则这两个数互为倒数,则:

$$-x+\sqrt{x^{2}+1}=e^{-y}.(2)$$

$(1)-(2):$

$$2x=e^{y}-e^{-y} \Rightarrow x = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.$$

这里需要注意的是,在大学高数中,若 $y=f(x)$ 存在反函数,则其反函数为 $x=f^{-1}(y),$ 即不用将 $x$ 和 $y$ 对调。因此,$x = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$ 就是正确答案。

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作者: zhaokaifeng.com

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