峰图 | 基于几何视角理解导数与泰勒公式的本质结构

一、前言

我们知道，基于传统数学方法的泰勒公式推导过程告诉了我们泰勒公式是什么样的（证明过程在此），但却没有回答泰勒公式为什么是这样的这一问题. 也就是说，传统的针对泰勒公式的证明过程相当于阐述了如何从 A 点走向 B 点的问题，但却没能够回答为什么走这样的路径可以从 A 点到 B 点的问题.

特别是，传统的证明方式和理论，并没有回答如图 01 所示的现象：泰勒公式是如何依靠函数在某一点处的不同阶的导数，实现了对该点附近一定范围内函数图象的精确近似，或者说拟合？

在本文中，「荒原之梦」提出了一种由函数图象上的点跨越到函数图象上可观测长度区间的本质机制解释，并论证了原函数一点处的高阶导可能包含原函数可观测长度区间上近似函数图象中其他点的曲率和斜率信息的原理，尝试解释了泰勒公式可能的产生机制.

二、正文

首先，我们知道，一段曲线可以由曲线上所有点对应的曲率圆表示，如图 02、03、04 所示，对于曲线上的每一个光滑的点，都可以找到一个对应的，弯曲程度与该点处的弯曲程度一样的圆，这个圆就是曲率圆：

那么，直观地说，如果仅仅基于曲率圆的几何结构尝试解释泰勒公式的产生机制，我们就需要能够用不同的“圆形”来表示一阶导、二阶导、三阶导，直至 $n$ 阶导.

例如，我们可以先用曲率圆间接表示一阶导（因为，曲率圆决定了曲线的弯曲程度，一阶导也决定了曲线的弯曲程度），如图 05 所示：

再尝试用另外一些通过特定方式构成的圆形（如图 06 中的黄色圆形）来约束曲率圆（白色的圆形）的位置和半径（也就是弯曲程度），这个黄色的圆形的某些特征就可能对应着原曲线的二阶导的信息：

接着，用类似的方式，用层次更高的圆形（即图 07 中的粉色圆形）对图 06 中的黄色圆形的位置和半径进行约束，这个粉色的圆形的某些特征就可能对应着原曲线的三阶导的信息：

但是，上面这一思路的问题在于，圆形本身是一个很复杂的图形，难以给出直观且准确的几何结论，同时，图 05、06、07 中的这些圆形究竟与泰勒公式中一点处的不同阶导数有什么样的关系，或者如何建立对应的关系，是一个棘手的难点.

但是，上面这个思路的核心思想在于，我认为，一条曲线的形成，可能是由于不同阶的导数对更低阶的导数存在具有级联关系的约束，并且这种约束随着层级的增加，会逐渐向求导点（即泰勒公式中 $x = x_{0}$ 的点）的左右两侧“延展”.

此外，在思考如何解释泰勒公式的产生机制这一问题时，我还考虑过用“弹性材料”这一物理视角来解释，即认为曲线对应于物理世界中的一种具有弹性的材料（如“钢丝”），而曲线上的每个点都保存了整条曲线上的所有趋势信息.

这里我们还需要定义一下什么是“弹性”：弹性就是受到了外力的挤压，材质本身的力难以对抗这样的外力，而发生了形变，但是，材质本身的力并没有消失——如果材质本身的力消失了，或者这个材料不具有弹性，那么，材料本身的力就会立即消失，从而立即发生折断.

所以，如果将曲线看作是一个弹性弯折的钢丝，那么，切断其中任意一点，形变就会在一定范围内消失，弯曲的信息会立即在断点处集中并散失——在没有断点的情况下，这些弯折的信息存在于整个弯折材料的所有点，所有位置.

所以，高阶导就相当于一种产生断点的效应，只不过与弯折操作是反过来的——在断点产生的时候，弯曲信息会从曲线上所有位置，逐渐向断点左右两侧邻域汇聚，直到抵达断点处，然后发生断开. 但在求高阶导的时候，可以认为是上述过程的反过程，即从断点处出发，逐渐向断点左右两侧获取弯曲的信息，从而将一个具有弹性的材料弯折成一条曲线，因此，一点处的高阶导实际上保存，或者说获取了该点附近一些点的弯折信息.

但是，这种解释方式包含了过多的抽象与假设，逻辑的严谨性尚不充足.

为了解决上面的问题，我们需要继续引入另外三个定理——

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 定理 1：$3$ 个不共线的点可以唯一确定一个圆，相关的说明在这里，如图 08 所示：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 定理 2：$3$ 个不共线的点可以唯一确定一个三角形，这是一个很直观的结论，在此不再给出更详细的说明，如图 09 所示：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 定理 3：一点处的导数所确定的该点处的切线一定是由至少两个点确定的，而非完全由该点自身确定，相关的说明在这里.

所以，既然直接研究曲线与曲率圆很困难，那么，我们可以将曲线抽象为折线，将曲率圆抽象为“曲率三角”，如图 10 所示就是一个用折线表示的曲线：

根据传统数学中极限的思想，只要折线弯折的次数和所包含的线段足够多，那么，折线就变成了曲线.

当然，根据「荒原之梦」的观点，因为曲线无法直接进行研究，所以，我认为真正的曲线是不存在的，因此，这里将曲线抽象为折线具有一定的逻辑基础.

可以将曲线抽象为直线的另一个逻辑基础是，「荒原之梦」认为，“点”也是不存在的，所有二维的曲线都是由直线，以及直线与直线之间的夹角构成的.

接着，根据前面所说的一点处的切线是由至少两个点确定的思想，以及用曲率三角代替曲率圆的思路，我们可以将表示曲线的折线上的点表示成如图 11 所示的形式，其中，黄色的点表示要求导的点，蓝色的点表示用于构成黄色点处切线，以及曲率三角的其中两个点：

于是，点 $O_{1}$ 处的曲率三角和点 $O_{2}$ 处的曲率三角就可以表示为如图 12 和图 13 所示的几何形式：

进而可知，整个表示曲线的折线上的点 $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$, $O_{4}$ 和 $O_{5}$ 对应的曲率三角的几何形式如图 14 所示：

当然，在绘制曲率三角的时候，还存在一个问题，那就是，在几何直观上我们可以看到，在图 11、12、13、14 中，用于构成曲率三角的蓝色的点在直线上的位置存在很多种可能，而蓝色的点位置不同，会导致最终形成的曲率三角的形状发生改变，那么，应该如何确定蓝色的点的位置呢？如何解释这些不同形状的曲率三角呢？这部分内容，我会在下文中给出解释.

接下来，为了几何上的绘图更加方便，我会使用另一个表示曲线的折线完成接下来的阐释，这个折线就是如图 15 所示的折线：

在该折线上选择一个黄色的点 $O$, 我们可以根据其周边蓝色的点绘制出来该黄色点处的曲率三角，连接两个蓝色点的蓝色的线就是该黄色点 $O$ 处的切线（一阶导），因为这条蓝色的线反映了绿色的折线在该黄色点 $O$ 处的变化趋势，如图 16 所示：

接着，如图 17 所示，为了反映点 $O$ 到点 $O^{\prime}_{1}$ 的变化趋势，我们需要在图中蓝色的线上找到两个紫色的点，并用紫色的线将这两个紫色的点连接起来，如图 17 所示：

但是，图 17 中紫色的线只反映了点 $O$ 到点 $O^{\prime}_{1}$ 的变化趋势，却没有反映点 $O_{1}$ 到点 $O$ 的变化趋势.

所以，如图 18 所示，我们需要找到点 $O$ 周围的另一条蓝色的线，并用另一条紫色的线表示新的蓝色的线到原来蓝色的线的变化趋势.

于是，由于图 18 中的这两条紫色的线包含了蓝色的线（一阶导）的变化趋势，所以，如果我们在这两条紫色的线上找到两个绿色的点，并用绿色的线连接这两个绿色的点，那么，这条绿色的线就表示点 $O$ 的二阶导，而紫色的线就是支撑点 $O$ 处一阶导到二阶导变化的中间结构和过程：

之所以需要诸如紫色的线这样的结构做 $n$ 阶导和 $n+1$ 阶导之间变化的中间结构，是因为，从折线这样的曲线抽象结构上来看，曲线上一点处左侧的各阶导的变化趋势都可能与该点处右侧的各阶导的变化趋势不同，但在传统的数学中，$n$ 阶导的值只有一个，所以，这个导数值必须体现的是整体的变化趋势，而非一点处左侧或者右侧局部的变化情况.

类似地，如图 19 所示，我们可以用橙色的线作为点 $O$ 处二阶导向三阶导变化的中间结构，然后用白色的线表示点 $O$ 处的三阶导：

从上面的过程可以看出，为了找到 $n$ 阶导，我们需要利用低于 $n$ 阶的导数，以及导数与导数之间的中间结构不断地向点 $O$ 的两侧更多点的位置“延展”，从而导致 $n$ 阶导获取了点 $O$ 周围的点的变化趋势信息.

因此，我们可以说，高阶导实际上包含了点 $O$ 周围很多点的曲率和切线信息，在导数不为零（也就是能找到曲率三角形，如果曲率三角成了一条直线，就意味着对应的导函数值为零）的情况下，导数的阶数越高，所包含的函数图象（即绿色的折线）上临近点的曲率和切线的信息就越多. 并且，这里所说的“临近点”并不是传统数学极限思想中邻域上的点，而是分布在一定的可观测长度区间上的点.

事实上，并不是所有的折线都可以一直绘制无限多层的曲率三角，但是，像如图 15 所示的这样的弯曲程度类似圆形的一部分，或者说类似 $y = \mathrm{e}^{x}$ 函数图象一部分的折线，就很容易找到多层的曲率三角，因为，无论是圆形的一部分（比如圆心在坐标原点，半径为 $1$ 的圆形在坐标系第一象限的曲线对应的函数），以及 $y = \mathrm{e}^{x}$ 这个函数，亦或其他具有类似求导性质的函数，都可以多次或者一直求导，其对应的曲率三角也可以多次或者一直绘制下去.

当然，上面用曲率三角表示曲率和切线的过程，也与“割圆术”有着异曲同工之妙，这也是「荒原之梦」在本文中的数学思想与传统数学中极限的思想相关联的一个结合点.

在上面的推导过程中，还存在一个没有解决的问题，那就是构成上面所说的曲率三角的三角形的形状可能有很多，但是，我们知道，一个函数求导后所得的结果只能是零，或者另一个唯一确定的函数. 但是，这并不是本文所述的曲率三角不严谨的地方，而正是可以帮助我们开拓思路的地方——

在传统数学中，我们使用标准的圆形（即曲率圆）来拟合一点处的弯曲程度，但是，从几何结构上来看，我们也可以使用诸如椭圆形等其他类圆形来表示一点处的弯曲程度，因为这些类圆形本身都可以用一系列标准的圆形表示（拟合）出来，如图 20、21、22 所示：

同样的，无虑我们用什么样的三角形表示曲率三角，都可以将这样的三角形用另外一些三角形（比如等边三角形）表示（拟合）出来，如图 23、24、25 所示：

也就是说，只使用标准的圆形作为曲率圆，就会使得一个函数求导之后只能得到另一个唯一的函数，也就会导致一个式子求导的结果是唯一确定的.

但如果我们将“只使用标准的圆形作为曲率圆”这个限制放开，那么，就可以在不同的曲率表示方法的基础之上，定义不同的求导过程，使得同一个式子在不同的求导过程中得到的导函数不同.

因此，虽然本文所述的曲率三角的具体构成方式和对应的理论解释尚未全部完善，没有确定什么样的曲率三角的构成方式可以对应于传统数学中的求导过程，但从逻辑上来看，一定存在某种曲率三角的构成方式可以对应传统数学中的求导过程.

三、总结

本文提出并论证了函数在一点处的高阶导数实际上包含了该点左右两侧一定可观测区间（而非极限思想中的“邻域”）内点的信息的观点，给出了一种基于几何原理的函数图象由“点”到“线”转化过程的解释，从几何的视角解释了泰勒公式底层的产生机制.

同时，通过本文的阐述分析可知，虽然在传统数学中，我们仅仅将折线看作是极限拟合的一种过渡形态，但实际上，通过折线这样的结构去研究曲线，能够让我们在一些看似普通的问题（例如泰勒公式）上，得到一些不一样的深入认识，找到观察和构建数学体系的另一种全新的视角.

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