一、题目
计算并判断下面的函数在点 $\left( 0,0 \right)$ 处的二重极限和累次极限：
$$
f \left( x,y \right) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}
$$
二、解析
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 函数 $f \left( x,y \right) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}$ 在 $\left( 0,0 \right)$ 处的二重极限（存在）：
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 验证方法 1：在直角坐标系下进行验证
首先，根据《柯西–施瓦茨不等式的一个特例及其证明》可知：
$$
\begin{aligned}
\left| f \left( x,y \right) \right| = \frac{x^{2} \left| y \right|}{x^{2} + y^{2}} \leqslant \left| y \right| \leqslant \sqrt{x^{2} + y^{2}}
\end{aligned}
$$
于是，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$, 取 $\delta = \varepsilon$, 则当 $0 < \sqrt{x^{2} + y^{2}} < \delta$ 时，有：
$$
\begin{aligned}
& \ \left| f \left( x,y \right) \right| \leqslant \sqrt{x^{2} + y^{2}} < \delta = \varepsilon \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ – \varepsilon < f \left( x, y \right) < \varepsilon
\end{aligned}
$$
由于 $\varepsilon$ 可以任意小，所以，下式的极限存在：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim\limits_{\left( x,y \right) \to \left( 0,0 \right)} \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} = 0
}
$$
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 验证方法 2：在极坐标系下进行验证
由于 $x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta$, 所以：
$$
f \left( x,y \right) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} = r\cos^{2}\theta\sin\theta
$$
又因为：
$$
\begin{aligned}
& \ \left| \cos \theta \right| \leqslant 1 \\ \
& \ \left| \sin \theta \right| \leqslant 1
\end{aligned}
$$
所以：
$$
\lim\limits_{\left( x,y \right) \to \left( 0,0 \right)} \left| f \left( x,y \right) \right| \leqslant r \to 0
$$
综上可知，下式的极限存在：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim\limits_{\left( x,y \right) \to \left( 0,0 \right)} \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} = 0
}
$$
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 函数 $f \left( x,y \right) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}$ 在 $\left( 0,0 \right)$ 处的累次极限（都存在）：
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 先令 $y \to 0$, 再令 $x \to 0$
首先，固定 $x$, 将 $x$ 看作是一个固定的常数.
接着，若 $x \ne 0$, 则：
$$
\left| \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} \right|
\leqslant \left| y \right| \to 0
$$
若 $x = 0$，则对于任意的 $y \ne 0$, 有：
$$
f \left( 0,y \right) = 0
$$
因此，对于任意固定的 $x$, 都有：
$$
\lim\limits_{y\to 0} f \left( x,y \right) = 0
$$
于是，下面的极限存在：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim\limits_{x\to 0} \left( \lim\limits_{y\to 0} f \left( x,y \right) \right) = \lim\limits_{x\to 0} 0 = 0
}
$$
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 先令 $x \to 0$，再令 $y \to 0$
首先，固定 $y$, 将 $y$ 看作是一个固定的常数.
若 $y \ne 0$, 则（其中，$x \to 0$）：
$$
\left| \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} \right| \leqslant \frac{x^{2} \left| y \right|}{y^{2}} = \frac{x^{2}}{\left| y \right|} \to 0
$$
若 $y = 0$, 则对于 $x \ne 0$, 有：
$$
f \left( x,0 \right) = 0
$$
故对任意固定的 $y$, 都有：
$$
\lim\limits_{x\to 0} f \left( x,y \right) = 0.
$$
于是，下面的极限存在：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim\limits_{y\to 0} \left( \lim\limits_{x\to 0} f \left( x,y \right) \right) = \lim\limits_{y\to 0} 0 = 0
}
$$
三、三维函数图象
函数 $f \left( x,y \right) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}$ 的三维函数图象如下：