二元函数二重极限和累次极限习题（01）

一、题目

计算并判断下面的函数在点 $\left( 0,0 \right)$ 处的二重极限和累次极限：

$$
f \left( x,y \right) = x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}
$$

二、解析

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 函数 $f \left( x, y \right) = x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}$ 在 $\left( 0, 0 \right)$ 处的二重极限（存在）：

观察可知，函数 $f \left( x, y \right) = x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}$ 的原定义域不包含坐标轴，因此这里是在 $\left( xy \neq 0 \right)$ 的定义域内趋近 $\left( 0, 0 \right)$.

接着，利用 $\left| \sin t \right| \leqslant 1$, 得：

$$
\begin{aligned}
\left| x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x} \right|
& \leqslant \left| x \right| \left| \sin \frac{1}{y} \right| + \left| y \right| \left| \sin \frac{1}{x} \right| \\ \
& \leqslant \left| x \right| + \left| y \right| \\ \
& \leqslant \sqrt{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}
\end{aligned}
$$

当 $\left( x, y \right) \to \left( 0, 0 \right)$ 时，$\sqrt{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 趋于 $0$, 因此，由夹逼定理可知：

$$
\lim_{\substack{(x, y) \to (0, 0) \\ xy \neq 0}} \left(x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x} \right) = 0
$$

也可以用严格的 $\varepsilon – \delta$ 语言进行证明：

给定 $\varepsilon > 0$, 取：

$$
\delta = \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}
$$

当 $0 < \sqrt{x^{2} + y^{2}} < \delta$ 且 $xy \neq 0$ 时，有：

$$
\left| f \left( x, y \right) – 0 \right| \leqslant \sqrt{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} < \sqrt{2} \delta = \varepsilon
$$

由于 $\varepsilon$ 可以任意小，因此：

$$
\lim_{\substack{(x, y) \to (0, 0) \\ xy \neq 0}} \left(x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x} \right) = 0
$$

综上可知，函数 $f \left( x, y \right) = x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}$ 的二重极限存在.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 函数 $f \left( x, y \right) = x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}$ 在 $\left( 0, 0 \right)$ 处的累次极限（都不存在）：

$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ $\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f \left( x, y \right) = \lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} \left[ x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x} \right]$ 不存在，因为，当固定 $x \neq 0$ 后，内层极限为：

$$
\lim_{y \to 0} \left[ x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x} \right] = \textcolor{orangered}{ \lim_{y \to 0} x \sin \frac{1}{y} } + \lim_{y \to 0} y \sin \frac{1}{x}
$$

此时：

$$
\lim_{y \to 0} y \sin \frac{1}{x} \to 0
$$

但是，$\textcolor{orangered}{ \lim_{y \to 0} x \sin \frac{1}{y} }$ 在 $x \neq 0$, $y \to 0$ 的时候，震荡无极限.

因此，极限 $\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f \left( x, y \right)$ 不存在.

$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ $\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f \left( x, y \right) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} \left[ x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x} \right]$ 不存在，因为，当固定 $y \neq 0$ 后，内层极限为：

$$
\lim_{x \to 0} \left[ x \sin \frac{1}{y} + \textcolor{orangered}{ y \sin \frac{1}{x} } \right] = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{y} + \lim_{x \to 0} y \sin \frac{1}{x}
$$

此时：

$$
\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{y} \to 0
$$

但是，$\textcolor{orangered}{ \lim_{x \to 0} y \sin \frac{1}{x} }$ 在 $y \neq 0$, $x \to 0$ 的时候，震荡无极限.

因此，极限 $\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f \left( x, y \right)$ 不存在.

三、三维函数图象

函数 $f \left( x,y \right) = x \sin \left( \frac{1}{y} \right) + y \sin \left( \frac{1}{x} \right)$ 的函数图像如下：

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