一元函数一点处极限的性质之局部保不等式性

一、性质

设函数 $f \left(x\right)$ 和 $g \left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$，若存在 $\rho > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \rho$ 时，$g \left(x\right) \leqslant f \left(x\right)$, 则下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
B \leqslant A
}
$$

二、性质的证明（方法 1）

假设 $B > A$, 则由函数极限的局部保序性，存在 $\delta > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta$ 时，下式成立：

$$
g \left(x\right) > f \left(x\right)
$$

但是，根据已知条件，存在 $\rho > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \rho$ 时，下式成立：

$$
g \left(x\right) \leqslant f \left(x\right)
$$

因此，若取 $\eta = \min\left\{\rho,\delta\right\}$，则当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \eta$ 时，既有 $g \left(x\right) > f \left(x\right)$ 成立，又有 $g \left(x\right) \leqslant f \left(x\right)$ 成立，从而产生矛盾，因此，原假设不成立，下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
B \leqslant A
}
$$

三、性质的证明（方法 2）

若 $\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f \left(x\right) = A$, $\lim_{x \to x_{0}} g \left(x\right) = B$, 则，对于任意给定的 $\epsilon > 0$, 有：

• $\exists \delta_{1} > 0,\ \forall x\left(0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta_{1}\right)$, 使得 $\left|f \left(x\right) – A\right| < \epsilon$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|f \left(x\right) – A\right| < \epsilon \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ -\epsilon < f \left(x\right) – A < \epsilon \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{f \left(x\right) < A + \epsilon}
\end{aligned}
$$

• $\exists \delta_{2} > 0,\ \forall x\left(0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta_{2}\right)$, 使得 $\left|g \left(x\right) – B\right| < \epsilon$，即：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|g \left(x\right) – B\right| < \epsilon \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ – \epsilon < g \left(x\right) – B < \epsilon \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{g \left(x\right) > B – \epsilon}
\end{aligned}
$$

因此，取 $\delta = \min\left\{\delta_{1},\delta_{2}\right\}$, 则当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
& \ B – \epsilon < A + \epsilon \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{B < A + 2 \epsilon}
\end{aligned}
$$

于是，假设 $B > A$，则 $B – A > 0$, 此时，不妨取 $\epsilon = \frac{B – A}{2}$，带入 $B < A + 2\epsilon$, 得：

$$
B < B
$$

上式有矛盾，因此，下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
B \leqslant A
}
$$

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