全面理解正交向量与正交矩阵

一、前言

根据「荒原之梦考研数学」《相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系》这篇讲义可知，正交矩阵是正交变换的基础，同时，我们也知道，正交向量又是正交矩阵的基础.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解什么是正交向量，什么是正交矩阵，同时帮助同学们理清楚正交向量与正交矩阵之间的一个容易混淆的知识点.

二、正文

§2.1 什么是正交向量？

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于向量 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_{1}, v_{2}, v_{3}, \cdots, v_{n} \end{pmatrix}$, 向量 $\mathbf{w} = \begin{pmatrix} w_{1}, w_{2}, w_{3}, \cdots, w_{n} \end{pmatrix}$, 当下面的向量内积计算结果等于 $0$ 的时候，向量 $\mathbf{v}$ 和向量 $\mathbf{w}$ 就互为正交向量：

$$
\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}^{\textcolor{orangered}{\top}} = \begin{pmatrix} v_{1}, v_{2}, v_{3}, \cdots, v_{n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \\ \cdots \\ w_{n}
\end{pmatrix} = 0
$$

其中，如果向量 $\mathbf{v}$ 和向量 $\mathbf{w}$ 都是单位向量，则称向量 $\mathbf{v}$ 和向量 $\mathbf{w}$ 互为“标准正交向量”.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 类似地，对于向量 $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \\ \cdots \\ n_{n} \end{pmatrix}$, 向量 $\mathbf{m} = \begin{pmatrix} m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \\ \cdots \\ m_{n} \end{pmatrix}$, 当下面的向量内积计算结果等于 $0$ 的时候，向量 $\mathbf{n}$ 和向量 $\mathbf{m}$ 就互为正交向量：

$$
\mathbf{n}^{\textcolor{orangered}{\top}} \cdot \mathbf{m} = \begin{pmatrix} n_{1}, n_{2}, n_{3}, \cdots, n_{n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \\ \cdots \\ m_{n} \end{pmatrix} = 0
$$

其中，如果向量 $\mathbf{n}$ 和向量 $\mathbf{m}$ 都是单位向量，则称向量 $\mathbf{n}$ 和向量 $\mathbf{m}$ 互为“标准正交向量”.

§2.2 什么是正交矩阵？

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 如果矩阵和其转置矩阵的乘积等于一个单位矩阵，那么，这个矩阵就是一个正交矩阵，即：如果矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 是一个正交矩阵，则下式成立：

$$
\boldsymbol{Q} \boldsymbol{Q}^{\top} = \boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{E}
$$

其中，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵.

§2.3 正交向量和正交矩阵之间的关联与区别

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 从上文中我们可以看到正交向量和正交矩阵的一个很重要的区别：

• 正交向量要求内积为零；
• 正交矩阵要求与自身转置矩阵的乘积为 $\boldsymbol{E}$.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ “正交向量要求内积为零”很好理解，因为，相互垂直的向量内积等于零，而正交向量其实就是相互垂直的向量.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 那么，为什么“正交矩阵要求与自身转置矩阵的乘积为 $\boldsymbol{E}$”，而非“正交矩阵要求与自身转置矩阵的乘积为零矩阵”呢？

这是因为，在不考虑的单位化的前提下，我们可以说正交矩阵就是由互为正交向量的行向量组成的，或者说正交矩阵就是由互为正交向量的列向量组成的.

在此，我们不妨假设正交矩阵是由互为正交向量的行向量组成的矩阵，那么，在进行该矩阵与其转置矩阵的乘法运算的时候，就相当于每一个行向量都要和所有行向量经转置运算得到的列向量相乘，于是：

• 当一个行向量和转置后与自己不同的列向量相乘的时候，由于互为正交向量，所以，结果为零；
• 当一个行向量和转置后与自己相同的列向量相乘的时候，由于这是自己与自己的内积，所以，结果就不为零.

同时，“一个行向量和转置后与自己相同的列向量相乘”就是第 $i$ 个行向量和第 $i$ 个列向量相乘，所得的结果就位于主对角线上.

但是，在正交矩阵的定义中，要求该矩阵与其转置矩阵相乘后得到的矩阵必须是单位矩阵，所以，我们不能像前面一样将任何正交向量组成的矩阵都看作正交矩阵，而只能将由标准正交向量组成的矩阵看作正交矩阵，因为，这些正交向量在做自己与自己的内积的时候，得到的一定是数字 $1$, 又因为这些数字 $1$ 都位于主对角线上，主对角线之外的其他位置由于都是互为正交向量的向量经过内积运算得到的，所以都是 $0$, 这就导致正交矩阵与其转置矩阵的乘以得到的一定是单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 而非零矩阵，或者其他类型的矩阵.

---