双层旋转体体积的计算

一、题目

难度评级：

二、解析

通过令 $x + 1 = \left(x – 1\right)^{2}$ 并求解，我们得到 $y = x + 1$ 与 $y = \left(x – 1\right)^{2}$ 的两个交点为 $\left(0, 1\right)$ 和 $\left(3, 4\right)$, 对应的积分区域 $D$ 如图 01 中绿色阴影区域所示：

于是，根据旋转体体积的计算公式，可知：

$$
\begin{aligned}
V & = \pi \int_{0}^{3} \left\{\left(x + 1\right)^{2} – \left[\left(x – 1\right)^{2}\right]^{2}\right\} \mathrm{~d}x \\ \\
& = \pi \int_{0}^{3} \left\{\left(x + 1\right)^{2} – \left(x – 1\right)^{4}\right\} \mathrm{~d}x \\ \\
& = \pi \left(\frac{1}{3}\left(x + 1\right)^{3} – \frac{1}{5}\left(x – 1\right)^{5}\right)_{0}^{3} \\ \\
& = \pi \left[\left(\frac{64}{3} – \frac{32}{5}\right) – \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)\right] \\ \\
& = \frac{72 \pi}{5}
\end{aligned}
$$

本题中平面区域 $D$ 绕 $X$ 轴旋转一周所得的立体的示意图如图 02 所示：

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