2021年考研数二第16题解析：多项式的性质、行列式的计算

一、题目

难度评级：

二、解析

解法 1

$$
\begin{aligned}
f \left(x\right) & = \begin{vmatrix} x & x & 1 & 2x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x \end{vmatrix} \\ \\
& = x \begin{vmatrix} x & 2 & -1 \\ 1 & x & 1 \\ -1 & 1 & x \end{vmatrix} – \textcolor{lightgreen}{x} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & \textcolor{lightgreen}{x} & 1 \\ 2 & 1 & \textcolor{lightgreen}{x} \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} 1 & x & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & x \end{vmatrix} – 2 \textcolor{lightgreen}{x} \begin{vmatrix} 1 & \textcolor{lightgreen}{x} & 2 \\ 2 & 1 & \textcolor{lightgreen}{x} \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

观察上面的展开式可知，含 $x^{3}$ 项的只有 $-x^{3}$ 和 $-4x^{3}$, 因此 $x^{3}$ 项的系数为：

$$
-5
$$

解法 2

解法 2 的核心思想是：不展开整个四阶行列式，只通过行变换判断 $x^{3}$ 项来自哪里. 但是，需要注意的是，只能使用“将行列式的某一行（列）加上零一行（列）的 $k$ 倍”这一种初等变换，因为，只有这一种初等变换不会改变行列式的值，另外两种初等变换，即“交换行列式的两行（列）”和“将行列式的某一行（列）乘以 $k$”一般都会导致行列式的值发生改变.

首先，对原来的行列式进行变形，使得变量 $x$ 只出现在主对角线上：

$$
\begin{aligned}
f\left(x\right) = & \
\left|\begin{matrix}
x & x & 1 & 2x \\
1 & x & 2 & -1 \\
2 & 1 & x & 1 \\
2 & -1 & 1 & x
\end{matrix}\right| \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\text{第一行减去第四行的 2 倍}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left|\begin{matrix}
x-4 & x+2 & -1 & 0 \\
1 & x & 2 & -1 \\
2 & 1 & x & 1 \\
2 & -1 & 1 & x
\end{matrix}\right| \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\text{第一行减去第二行}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left|\begin{matrix}
\textcolor{lightgreen}{x-5} & 2 & -3 & 1 \\
1 & \textcolor{lightgreen}{x} & 2 & -1 \\
2 & 1 & \textcolor{lightgreen}{x} & 1 \\
2 & -1 & 1 & \textcolor{lightgreen}{x}
\end{matrix}\right|
\end{aligned}
$$

观察上面得到的行列式可知，只有主对角线上的元素含有自变量 $x$, 其他位置都是常数. 因此，要得到 $x^{3}$ 项，就需要在行列式展开中选出三个含有 $x$ 的项相乘，所以：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 如果某一项中选了两个主对角线上的 $x$, 如果其余元素都不是主对角线上的元素，那么，只能得到 $x^{2}$;

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 如果某一项中选了三个主对角线上的 $x$，那么根据行列式的展开规则（相乘的元素必须不同行且不同列），剩下的一个元素也只能来自主对角线.

所以 $x^{3}$ 项只可能来自主对角线所有元素的乘积，即：

$$
\begin{aligned}
& \ \left(x-5\right) x \cdot x \cdot x \\ \\
= & \ \left(x-5\right)x^{3} \\ \\
= & \ x^{4} – 5x^{3}
\end{aligned}
$$

于是可知，$x^{3}$ 的系数为：

$$
-5
$$

解法 3

由于：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime} \left(x\right) & = \begin{vmatrix}
x & x & 1 & 0 \\
1 & x & 2 & -3 \\
2 & 1 & x & -3 \\
2 & -1 & 1 & x – 4
\end{vmatrix} \\ \\
& = \begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 – x & -x & 2 & -3 \\
1 & 1 – x^{2} & x & -3 \\
3 & -1 – x & 1 & x – 4
\end{vmatrix} \\ \\
& = \begin{vmatrix}
1 – x & -x & -3 \\
1 & 1 – x^{2} & -3 \\
3 & -1 – x & x – 4
\end{vmatrix} \\ \\
& = \begin{vmatrix}
1 & -x & 0 \\
x^{2} & 1 – x^{2} & 3x^{2} – 3 \\
4 + x & -1 – x & 4x + 8
\end{vmatrix} \\ \\
& = \left(1 \textcolor{lightgreen}{} – x^{2}\right)\left(4x + 8\right) + \left(1 + x\right)\left(3x^{2} – 3\right) + x \left[x^{2}\left(4x + 8\right) – \left(x + 4\right)\left(3x^{2} – 3\right)\right] \\ \\
& = x^{4} – 5x^{3} – 2x^{2} + 13x + 5
\end{aligned}
$$

于是可知，$x^{3}$ 的系数为：

$$
-5
$$

解法 4

行列式的计算规则就是：所有不同行且不同列的元素相乘后相加.

因此，要想得到 $x^{3}$, 我们就需要用三个含有 $x$ 的元素和一个纯数字元素，四个元素相乘，对应的组合只有下面两种：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ $\begin{vmatrix} x & \textcolor{lightgreen}{x} & 1 & 2x \\ \textcolor{lightgreen}{1} & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & \textcolor{lightgreen}{x} & 1 \\ 2 & -1 & 1 & \textcolor{lightgreen}{x} \end{vmatrix}$ $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ $\left( -1 \right)^{\tau \left( 2134 \right)} a_{12} a_{21} a_{33} a_{44} = -1$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ $\begin{vmatrix} x & x & 1 & \textcolor{lightgreen}{2x} \\ 1 & \textcolor{lightgreen}{x} & 2 & -1 \\ 2 & 1 & \textcolor{lightgreen}{x} & 1 \\ \textcolor{lightgreen}{2} & -1 & 1 & x \end{vmatrix}$ $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ $\left( -1 \right)^{\tau \left( 4231 \right)} a_{14} a_{22} a_{33} a_{41} = -4$

于是可知，$x^{3}$ 的系数为：

$$
-5
$$

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