2021年考研数二第10题解析：逆矩阵、对角矩阵、初等变换、矩阵乘法运算

一、题目

»A« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

»B« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

»C« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

»D« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

二、解析

解法 1

题目告诉我们，$\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是一个对角矩阵，假设这个对角矩阵是 $\boldsymbol{\Lambda}$, 则：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

于是（矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 可逆）：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}
$$

由于可逆上三角矩阵的逆矩阵仍然是上三角矩阵（关于这一结论的传统证明方式点击这里查看，峰式图证明方式点击这里查看），所以，在矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 是一个上三角矩阵的情况下，矩阵 $\boldsymbol{Q}^{-1}$ 一定也是一个上三角矩阵.

又由「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？》这篇文章可知，上三角矩阵左乘一个对角矩阵，得到的仍然是上三角矩阵. 因此，$\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 一定是上三角矩阵.

又根据矩阵乘法运算的左行右列性质可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左边乘以的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 相当于给矩阵 $\boldsymbol{A}$ 施加了一些初等行变换，因此，根据《初等变换求逆法的形象理解：把单位矩阵 E 看作一张“白纸”或“原点”》这篇文章中的思路可知，只要我们拿出来一个单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 用一系列初等行变换将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 变成上三角矩阵，那么，矩阵 $\boldsymbol{E}$ 就会记录下来这些初等行变换，得到的矩阵就是矩阵 $\boldsymbol{P}$, 即：

$$
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}\right) & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -5 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -6 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \left(\boldsymbol{F}, \boldsymbol{P}\right)
\end{aligned}
$$

则：

$$
\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$$

根据与上面相同的思路，前面的到的矩阵 $\boldsymbol{F}$ 实际上就是矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$, 那么，在矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 的右边乘以一个矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 就相当对矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 做了一系列来自矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的列变换，使其变成对角矩阵.

所以，在 $\begin{pmatrix}
\boldsymbol{F} \\ \boldsymbol{E}
\end{pmatrix}$ 中，当矩阵 $\boldsymbol{F}$ 经过一系列初等列变换变成一个对角矩阵的时候，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 就会变成矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 即：

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{F} \\ \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{\Lambda} \\ \boldsymbol{Q}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

则：

$$
\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

综上可知，本 题 应 选 C

解法 2

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »A« 选项

由于，在 »A« 选项中，$\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个单位矩阵，所以：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{E} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}
$$

又因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 不是一个对角矩阵：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

所以，»A« 选项不正确.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »B« 选项

由于，在 »B« 选项中，$\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个单位矩阵，所以：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{A}
$$

又因为 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 不是一个对角矩阵：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

所以，»B« 选项不正确.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »C« 选项

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

所以，»C« 选项正确.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »D« 选项

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 2 & 5 & -7 \\ 6 & 13 & -23 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 C

三、补充

事实上，满足本题题干要求的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 并不是只有 »C« 选项所示的这一种组合——满足题目条件的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 实际上有无穷多组.

得出上述结论的依据主要有以下三个：

1. 矩阵行变换和列变换本身就不是唯一的. 把一个矩阵化成阶梯形、上三角形或对角形，通常有很多不同初等变换方式；
2. 题目只要求 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是“某个对角矩阵”，没有规定这个对角矩阵主对角线上的元素具体是多少. 因此，对矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的行或列做非零倍数缩放后，仍然能得到一个对角矩阵；
3. 本题中矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $2$, 所以最后的对角矩阵的主对角线上必然有一个零元素. 由于全零行或者全零列附近会带来无限多的自由度，也会导致矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的组合有无数种.

本题也可以求解出矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的通解——

首先，设：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} & = \begin{pmatrix}
a & 0 & 0\\
b & c & 0 \\
d & e & f
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{Q} & = \begin{pmatrix}
g & h & i \\
0 & j & k \\
0 & 0 & l
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

其中，$a,c,f,g,j,l \neq 0$.

且已知：

$$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}
$$

于是，有：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
ag & ah & a \left( i-l \right) \\
\left( b+2c \right) g & \left( b+2c \right) h-cj & \left( b+2c \right) i-ck+ \left( -b+c \right) l \\
\left( d+2e-f \right) g & \left( d+2e-f \right) h+ \left( -e+2f \right) j & \left( d+2e-f \right) i+ \left( -e+2f \right) k+ \left( -d+e-5f \right) l
\end{pmatrix}
$$

又因为 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是一个对角矩阵，所以：

$$
\begin{cases}
b=-2c \\
e=2f \\
d=-3f \\
h=0 \\
i=l \\
k=3l
\end{cases} \tag{1}
$$

此时：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
ag & 0 & 0 \\
0 & cj & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

于是，由上面的 $(1)$ 式可知，满足条件的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的一般形式（通解）可以写成：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} & = \begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
-2c & c & 0 \\
-3f & 2f & f
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{Q} & = \begin{pmatrix}
g & 0 & l \\
0 & j & 3l \\
0 & 0 & l
\end{pmatrix}
\end{aligned} \tag{2}
$$

其中

$$
a,c,f,g,j,l \neq 0.
$$

选项 »C« 对应的 $(2)$ 式中矩阵元素的取值（特解）是：

$$
\begin{cases}
a=1 \\
c=-1 \\
f=1 \\
g=1 \\
j=1 \\
l=1
\end{cases}
$$

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