什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形性质，形象化地证明下面的定理：
- 上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角矩阵；
- 下三角矩阵的逆矩阵一定是下三角矩阵.
二、正文
Tip
本文中接下来提到的所有矩阵都是可逆矩阵.
zhaokaifeng.com
首先，我们约定用如图 01 所示的图形表示单位矩阵，其中，连接图 01 中正方形左上角到右下角的直线表示单位矩阵主对角线上的元素：
我们还约定，用绿色或者橙色的阴影线表示矩阵中非全零元素所在的区域.
上三角矩阵
根据矩阵乘法运算的图形性质可知，对于如图 02 中这两个相乘的上三角矩阵：
如果我们要观察其相乘之后元素之间的作用结果（哪些元素对应相乘），就需要将橙色的上三角矩阵逆时针旋转 $180^{\circ }$（或者在旋转 $90^{\circ}$ 之后，沿着底边做一个镜像对称变换，效果相同）, 如图 03 到图 06 所示：
之后，将旋转 $180^{\circ}$ 之后的橙色上三角矩阵叠放在绿色的上三角矩阵上，叠放的过程如图 07 和图 08 所示：
于是，如图 09 所示，可以很直观地看到，完成叠放之后，绿色的上三角矩阵与橙色的上三角矩阵刚好只有主对角线上的非零元素重叠，所以，这两个矩阵相乘得到的就是一个单位矩阵 $\boldsymbol{E}$:
但是，如果橙色的上三角矩阵不是一个真正的上三角矩阵，也就是在其下三角位置存在非零元素，那么，将橙色的上三角矩阵旋转 $180^{\circ}$, 并重叠在绿色的上三角矩阵上时（也就是做矩阵乘法运算），就有可能在主对角线之外产生非零元素，从而导致相乘所得的矩阵不是单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 如图 10 所示：
上面的过程可以证明绿色上三角矩阵的逆矩阵一定是橙色上三角矩阵，如果将橙色和绿色这两种颜色互换，就可以证明橙色上三角矩阵的逆矩阵一定是绿色上三角矩阵. 因此，根据互逆矩阵的定理可知，上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角矩阵.
下三角矩阵
根据矩阵乘法运算的图形性质可知，对于如图 11 中这两个相乘的下三角矩阵：
如果我们要观察其相乘之后元素之间的作用结果（哪些元素对应相乘），就需要将橙色的下三角矩阵逆时针旋转 $180^{\circ }$（或者在旋转 $90^{\circ}$ 之后，沿着底边做一个镜像对称变换，效果相同）, 如图 12 到图 15 所示：
之后，将旋转 $180^{\circ}$ 之后的橙色下三角矩阵叠放在绿色的下三角矩阵上，叠放的过程如图 16 和图 17 所示：
于是，如图 18 所示，可以很直观地看到，完成叠放之后，绿色的下三角矩阵与橙色的下三角矩阵刚好只有主对角线上的非零元素重叠，所以，这两个矩阵相乘得到的就是一个单位矩阵 $\boldsymbol{E}$:
但是，如果橙色的下三角矩阵不是一个真正的下三角矩阵，也就是在其下三角位置存在非零元素，那么，将橙色的下三角矩阵旋转 $180^{\circ}$, 并重叠在绿色的下三角矩阵上时（也就是做矩阵乘法运算），就有可能在主对角线之外产生非零元素，从而导致相乘所得的矩阵不是单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 如图 19 所示：
上面的过程可以证明绿色下三角矩阵的逆矩阵一定是橙色下三角矩阵，如果将橙色和绿色这两种颜色互换，就可以证明橙色下三角矩阵的逆矩阵一定是绿色下三角矩阵. 因此，根据互逆矩阵的定理可知，下三角矩阵的逆矩阵一定是下三角矩阵.
峰图，让数学变成直觉.
FengGraph, Make Math Intuitive.
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