初等矩阵的性质汇总

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们汇总讲解初等矩阵的相关性质.

二、正文

什么是初等矩阵？

初等矩阵是由单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 经过 $1$ 次初等行变换或初等列变换得到的矩阵.

因此，由于初等变换有三种，所以，初等矩阵也分为三种：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对换初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{ij}$：交换单位矩阵的第 $i$ 行（列）与第 $j$ 行（列）得到的矩阵（$i \neq j$）；

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 倍乘初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$：将单位矩阵的第 $i$ 行（列）乘以非零常数 $k$ 得到的矩阵；

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 倍加初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{ij}(k)$：将单位矩阵的第 $j$ 行（列）的 $k$ 倍（$k \neq 0$）加到第 $i$ 行（列）得到的矩阵.

初等矩阵的性质 1：乘法性质

初等矩阵在乘法运算中所表现出来的性质，就是我们常说的“左行右列”性质，关于此部分的详细内容，可以查阅下面的讲义：

《什么是矩阵乘法的“左行右列”的性质？》

初等矩阵的性质 2：逆矩阵的性质

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对换初等矩阵的逆矩阵：

$$
\boldsymbol{E}_{ij}^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 倍乘初等矩阵的逆矩阵：

$$
\boldsymbol{E}_{i}(k)^{-1} = \boldsymbol{E}_{i}\left(\frac{1}{k}\right), \quad (k \neq 0)
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 倍加初等矩阵的逆矩阵：

$$
\boldsymbol{E}_{ij}(k)^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}(-k), \quad (k \neq 0)
$$

初等矩阵的性质 3：行列式的性质

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对换初等矩阵的行列式：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{E}_{ij}
\end{vmatrix} = -1
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 倍乘初等矩阵的行列式：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{E}_{i}(k)
\end{vmatrix} = k, \quad (k \neq 0)
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 倍加初等矩阵的行列式：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{E}_{ij}(k)
\end{vmatrix} = 1, \quad (k \neq 0)
$$

初等矩阵的性质 4：转置的性质

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对换初等矩阵的转置矩阵：

$$
\boldsymbol{E}_{ij}^{\top} = \boldsymbol{E}_{ij}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 倍乘初等矩阵的转置矩阵：

$$
\boldsymbol{E}_{i}(k)^{\top} = \boldsymbol{E}_{i}(k)
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 倍加初等矩阵的转置矩阵：

$$
\boldsymbol{E}_{ij}(k)^{\top} = \boldsymbol{E}_{ji}(k)
$$

初等矩阵的性质 5：与可逆方阵的等价关系

一个 $n$ 阶可逆方阵 $\boldsymbol{A}$ 可以表示为有限个初等矩阵 $\boldsymbol{P}_{1}$, $\boldsymbol{P}_{2}$, $\dots$, $\boldsymbol{P}_{s}$ 的乘积：

$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} \cdots \boldsymbol{P}_{s}
$$

反过来说，当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积时，$\boldsymbol{A}$ 才是一个可逆矩阵.

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