N 个未知数需要多少个等式才能确定其取值

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲清楚求解未知数时所需等式的最低数量，特别是当一个未知数有多个可能的不同取值时.

二、正文

如果一个未知数只有一个可能的取值，那么，未知数的数量就是求解未知数所需等式的最低数量，即：

$$
\begin{rcases}
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{1} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{3} } \\
\end{rcases} \textcolor{orange}{ \leadsto } \begin{cases}
\text{未知数 }_{1} \textcolor{orange}{ \leadsto } \textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{1} } \\
\text{未知数 }_{2} \textcolor{orange}{ \leadsto } \textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{2} } \\
\text{未知数 }_{3} \textcolor{orange}{ \leadsto } \textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{3} }
\end{cases}
$$

如果一个未知数有 $N$ 个可能的不同取值，那么，求解该未知数所需等式的最低数量也是 $N$, 即：

$$
\begin{rcases}
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{1} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{3} } \\
\end{rcases} \textcolor{orange}{ \leadsto } \text{未知数 }_{1} \textcolor{orange}{ \leadsto } \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{1} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{3} }
\end{cases}
$$

因此，求解未知数时所需等式的最低数量，本质上不取决于未知数的数量，而取决于未知数的可能取值的数量，即：

$$
\begin{rcases}
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{1} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{3} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{4} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{等式 }_{5} }
\end{rcases} \textcolor{orange}{ \leadsto } \begin{cases}
\text{未知数 }_{1} \textcolor{orange}{ \leadsto } \textcolor{orange}{ \leadsto } \textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{1} } \\
\text{未知数 }_{2} \textcolor{orange}{ \leadsto } \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{3} } \\
\textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{4} }
\end{cases} \\
\text{未知数 }_{3} \textcolor{orange}{ \leadsto } \textcolor{orange}{ \leadsto } \textcolor{lightgreen}{ \text{取值 }_{5} }
\end{cases}
$$

综上可知，如果一个未知数只有一种可能的取值，则确定 $N$ 个未知数的取值就需要至少 $N$ 个等式才能确定；类似地，一个未知数的 $N$ 种可能的不同取值也需要至少 $N$ 个等式才能确定.

此外，确定未知数的取值需要使用等式，而如果要确定未知数的取值范围，则需要用不等式——同样的，如果一个未知数只有一个取值范围，就只需要一个不等式即可确定；如果一个未知数有 $M$ 个取值范围，则需要至少 $M$ 个不等式才能确定.

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