为什么不能在加减法中做局部的变量替换？因为等价无穷小是基于乘除法定义的

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从下面这个式子出发，为同学们讲解清楚，为什么我们不能对该式子分子中的 “$\ln (1 + \tan x)$” 做局部的等价无穷小替换：

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} = ?
$$

二、正文

对于式子 $I$, 我们有以下两种截然不同的求解方法：

§2.1 方法一

已知，当 $x \rightarrow 0$ 时，有如下等价无穷小：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
& \tan x – x \sim \frac{1}{3}x^{3} \\
& x – \ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2} \\
& x \sim \tan x
\end{aligned}
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \textcolor{pink}{ – \tan x + \tan x } – \ln(1+\tan x)}{x^2} \\ \\
= \ & \textcolor{orange}{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \tan x}{x^{2}} } + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x – \ln (1 + \tan x)}{x^{2}} \\ \\
= \ & \textcolor{orange}{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{3}x^{3}}{x^{2}} } + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} \tan ^{2} x}{x^{2}} \\ \\
= \ & \textcolor{orange}{ 0 } + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{2} }
\end{aligned}
$$

§2.2 方法二

已知，当 $x \rightarrow 0$ 时，有如下等价无穷小：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
& \ln (1 + x) \sim x \\
& x \sim \tan x
\end{aligned}
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \textcolor{orange}{ \ln(1+\tan x) }}{x^2} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \textcolor{orange}{ \tan x }}{x^{2}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \textcolor{orange}{x}}{x^{2}} \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{0}
\end{aligned}
$$

§2.3 对比分析

从方法一我们知道：

$$
I = \frac{1}{2}
$$

从方法二我们知道：

$$
I = 0
$$

那么，哪个结果才是对的呢？

但是，为什么方法二的计算是错误的呢？

为什么这样做是错误的呢？

很多时候，我们只能得到上面这样的解释.

其实，本质上的原因很简单，就是因为：

所以，接下来的问题就变成了：

或者说：

根据等价无穷小的定义，我们说 $\lim_{x \rightarrow 0} a(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} b(x)$ 是等价无穷小，是因为 $a(x)$ 和 $b(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时的比值等于 $1$, 即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a(x)}{b(x)} = 1 \tag{1}
}
$$

我们知道，$\frac{100}{100}=1$, 所以，$100$ 和 $100$ 是等价的，但是，$100-100=0$, 所以，我们是否可以用下面的式子定义 $\lim_{x \rightarrow 0} a(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} b(x)$ 之间的等价无穷小关系：

$$
\textcolor{orangered}{
\lim_{x \rightarrow 0} a(x) – \lim_{x \rightarrow 0} b(x) = 0 \tag{2}
}
$$

答案是否定的，因为加减法只能笼统的定义相等与不相等，而不能精确的描述相等到何种程度。

例如，根据等价无穷小的定义，我们知道：

$$
\textcolor{tan}{
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + x^{2}}{x+x^{3}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x} = 1
}
$$

也就是说，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，$x + x^{2}$ 和 $x + x^{3}$ 是等价的.

同时，我们也有：

$$
\textcolor{tan}{
\lim_{x \rightarrow 0} \left( x+x^{2} \right) – \lim_{x \rightarrow 0} \left( x+x^{3} \right) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( x^{2} – x^{3} \right) = 0
}
$$

看上去，我们也能够通过减法运算说明，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，$x + x^{2}$ 和 $x + x^{3}$ 是等价的.

但是，对于减法来说，有：

$$
\textcolor{magenta}{
\lim_{x \rightarrow 0} \left( 2x+x^{2} \right) – \lim_{x \rightarrow 0} \left( x+x^{3} \right) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( x + x^{2} – x^{3} \right) = 0
}
$$

但很显然，通过除法运算我们就知道，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，$2x+x^{2}$ 和 $x+x^{3}$ 并不是等价无穷小：

$$
\textcolor{magenta}{
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x + x^{2}}{x + x^{3}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{x} = 2
}
$$

当然，我们也可以说，只有如上面 $(2)$ 式中使用减法定义的等价无穷小才是真正的等价无穷小——但这样做是没有具体意义，因为，通过上面的例子可知，减法只能判断相等还是不相等，无法精确到等价相等、同阶相等、高阶相等以及低阶相等这样“微观的尺度”——

又由于除法和乘法本质上是同一种运算（除以一个数就是乘以这个数的倒数），减法和加法本质上也是同一种运算（减去一个数就是加上这个数的负数），所以，等价无穷小的计算公式只能在乘法或者除法中使用，而不能在加法或者减法中使用.

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