一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} = ?
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
$$
\begin{aligned}
& \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} \\ \\
= \ & \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \left[ \frac{1}{\textcolor{springgreen}{k}!} – \frac{1}{(\textcolor{springgreen}{k+1})!} \right] \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{ 将上面的式子展开,可看到相邻项能互相抵消} \\ \\
= \ & \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{1} \textcolor{orange}{ – \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} } \textcolor{yellow}{ – \frac{1}{3!} + \frac{1}{3!} } – \cdots – \frac{1}{(n+1)!} \right] \\ \\
= \ & \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ 1 – \textcolor{magenta}{ \frac{1}{(n+1)! } } \right] \\ \\
= \ & 1 – \textcolor{magenta}{ 0 } \\ \\
= \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ 1 }}
\end{aligned}
$$
Note
从上面的计算中可以看到,$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \left[ \frac{1}{ \textcolor{blue}{k}!} – \frac{1}{(\textcolor{blue}{k+1})!} \right]$ 中含有明显的递进关系 $\textcolor{blue}{k}$ 和 $\textcolor{blue}{k+1}$, 因此,应该对该求和式子做展开,并观察相邻的项是否能相互抵消(*)或简单相加(**);
此外,若要求解的式子为 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \left[ \frac{1}{ \textcolor{black}{k}!} – \frac{1}{(\textcolor{black}{k+2})!} \right]$, 则递进关系为 $\textcolor{black}{k}$ 和 $\textcolor{black}{k+2}$, 此时,就应该观察展开式的隔项间是否存在相互抵消或简单相加的关系。(*) 相互抵消:运算之后等于 $0$;
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(**) 简单相加:等差数列相加(公差可能等于零或者不等于零)
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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