证明对数的“换底”/“基变换”公式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式（也称“对数基变换公式”）的详细证明：

$$
\textcolor{pink}{ \log_{y} x } = \frac{\log_{\beta} x}{\log_{\beta} y}
$$

二、正文

首先，设：

$$
\textcolor{pink}{
\log_{y} x = k
}
$$

于是：

$$
\textcolor{springgreen}{x} = \textcolor{springgreen}{y^{k}} \tag{1}
$$

对上面 $(1)$ 式的等号两端同时取底数为 $\beta$ 的对数，得：

$$
\log_{\beta} \textcolor{springgreen}{x} = \log_{\beta} \textcolor{springgreen}{y^{k}}
$$

继续运算，可得：

$$
\begin{aligned}
& \log_{\beta} \textcolor{springgreen}{x} = \textcolor{springgreen}{k} \log_{\beta} \textcolor{springgreen}{y} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{pink}{k} = \frac{\log_{\textcolor{orangered}{\beta}} {x}}{ \log_{\textcolor{orangered}{ \beta }} y}
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\textcolor{pink}{k} = \textcolor{pink}{ \log_{y} x }
$$

所以：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\log_{y} x = \frac{\log_{\beta} x}{\log_{\beta} y}
}
}
$$

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