幂指函数的求导策略：什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”？什么时候用“$\ln$ 落下”？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过计算下面三个式子的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的方式，给同学们讲清楚在对幂指函数求导时，什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”，什么时候用“$\ln$ 落下”：

$$
\begin{aligned}
① \quad y = & \ x ^{\sin x} \\
② \quad y = & \ x^{\cos x} + x^{x} \\
③ \quad y = & \ x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}
\end{aligned}
$$

二、正文

本文为 VIP 专享文章…

本质上来说，对式子使用 $\mathrm{e}$ 抬起之后，会增加式子求导的复杂程度，因此，如果一个式子由多个幂指函数相乘得到，则要尝试「荒原之梦考研数学」《复杂幂指函数求导不要用“$\mathrm{e}$ 抬起”，而要用“$\ln$ 落下”》这篇文章——因为，$\ln$ 落下其实可以降低对幂指函数求导的难度。

由于无论 $\mathrm{e}$ 抬起还是 $\ln$ 落下，都只是对原式进行变形的一种方式，经过正确的计算之后，得到的结果也是一样的。所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将分别尝试使用 “$\mathrm{e}$ 抬起”和 “$\ln$ 落下”这两种方法，计算本文前言部分给出的三个式子。

式子 ①

-· $\mathrm{e}$ 抬起 ·-

$$
\begin{aligned}
& y = x ^{\sin x} \\ \\
\Rightarrow \ &y = \mathrm{e}^{\ln x ^{\sin x}} \\ \\
\Rightarrow \ & y = \mathrm{e}^{\sin x \ln x} \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = \mathrm{e}^{\sin x \ln x} \left( \sin x \ln x \right) ^{\prime} \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = \textcolor{pink}{ \mathrm{e}^{\sin x \ln x} } \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = \textcolor{pink}{ \mathrm{e}^{\ln x^{\sin x}} } \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \textcolor{pink}{ x^{\sin x} } \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) }}
\end{aligned}
$$

-· $\ln$ 落下 ·-

$$
\begin{aligned}
& y = x ^{\sin x} \\ \\
\Rightarrow \ & \ln y = \ln x^{\sin x} \\ \\
\Rightarrow \ & \ln y = \sin x \ln x \\ \\
\Rightarrow \ & (\ln y) ^{\prime} = ( \sin x \ln x ) ^{\prime} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{y ^{\prime} }{\textcolor{pink}{y}} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = \textcolor{pink}{y} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \textcolor{pink}{x^{\sin x}} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) }}
\end{aligned}
$$

Note

通过上面两种计算方法可以看到，当要求导的式子只有一个幂指函数的时候，用两种方法的计算复杂程度相似。

zhaokaifeng.com

式子 ②

-· $\mathrm{e}$ 抬起 ·-

$$
\begin{aligned}
& y = x^{\cos x} + x^{x} \\ \\
\Rightarrow \ & y = \mathrm{e}^{\ln x^{\cos x}} + \mathrm{e}^{\ln x^{x}} \\ \\
\Rightarrow \ & y = \mathrm{e}^{\cos x \ln x} + \mathrm{e}^{x \ln x} \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = (\mathrm{e}^{\cos x \ln x}) ^{\prime} + (\mathrm{e}^{x \ln x}) ^{\prime} \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = \mathrm{e}^{\cos x \ln x} (\cos x \ln x) ^{\prime} + \mathrm{e}^{x \ln x} (x \ln x) ^{\prime} \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = \textcolor{pink}{ \mathrm{e}^{\cos x \ln x} } \left( -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x} \right) + \textcolor{pink}{ \mathrm{e}^{x \ln x} } \left( \ln x + 1 \right) \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = \textcolor{pink}{ \mathrm{e}^{ \ln x^{\cos x}} } \left( -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x} \right) + \textcolor{pink}{ \mathrm{e}^{ \ln x^{x}} } \left( \ln x + 1 \right) \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \textcolor{pink}{ x^{\cos x}} \left( -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x} \right) + \textcolor{pink}{x^{x}} \left( \ln x + 1 \right) }}
\end{aligned}
$$

-· $\ln$ 落下 ·-

$$
\begin{aligned}
& y = x^{\cos x} + x^{x} \\ \\
\Rightarrow \ & \ln y = \ln (x^{\cos x + x^{x}}) \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{y ^{\prime} }{y} = \frac{(\mathrm{e} ^{\cos x \ln x} + \mathrm{e}^{x \ln x} ) ^{\prime} }{x^{\cos x} + x^{x}} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{y ^{\prime} }{x^{\cos x} + x^{x}} = \frac{(\mathrm{e} ^{\cos x \ln x} + \mathrm{e}^{x \ln x} ) ^{\prime} }{x^{\cos x} + x^{x}} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{yellow}{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x } = (\mathrm{e} ^{\cos x \ln x} + \mathrm{e}^{x \ln x} ) ^{\prime} }
\end{aligned}
$$

Note

从上面的计算可以看出，对多个通过加法或者减法连接起来的幂指函数求导，直接使用 “$\mathrm{e}$ 抬起”的计算方式更方便，即便是要使用 “$\ln$ 落下”的计算方式，最终也可能回到 “$\mathrm{e}$ 抬起”的计算方式上。

zhaokaifeng.com

式子 ③

-· $\mathrm{e}$ 抬起 ·-

对于式子 $y$ $=$ $x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}$, 使用 “$\mathrm{e}$ 抬起”只能得到如下形式：

$$
y = \mathrm{e}^{\ln (x^{\cos x} \cdot x^{\sin x})}
$$

但是，上面这个形式完全没有简化求导运算，所以，当要求导的式子是多个幂指函数通过乘法或者除法连接起来的时候，不能使用 “$\mathrm{e}$ 抬起”变形。

-· $\ln$ 落下 ·-

$$
\begin{aligned}
& y = x^{\cos x} \cdot x^{\sin x} \\ \\
\Rightarrow \ & \ln y = \ln (x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}) \\ \\
\Rightarrow \ & \ln y = \ln x^{\cos x} + \ln x^{\sin x} \\ \\
\Rightarrow \ & \ln y = (\cos x) \ln x + (\sin x) \ln x \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{y ^{\prime} }{y} = (- \sin x) \ln x + \frac{\cos x}{x} + (\cos x) \ln x + \frac{\sin x}{x} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{y ^{\prime} }{y} = (\cos x – \sin x) \ln x + \frac{\cos x + \sin x}{x} \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = y \left[ (\cos x – \sin x) \ln x + \frac{\cos x + \sin x}{x} \right] \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = (x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}) \left[ (\cos x – \sin x) \ln x + \frac{\cos x + \sin x}{x} \right] }} \\ \\
\end{aligned}
$$

Note

从上面的计算可以看出，对多个通过乘法或者除法连接起来的幂指函数求导，往往只能使用“$\ln$ 落下”的方式对原式进行变形处理。

zhaokaifeng.com

总结

$\textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}}$ 求导的时候，对于单一的幂指函数，先用 “$\mathrm{e} 抬起$”法变形；

$\textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}}$ 求导的时候，对于由加减法连接的多个幂指函数，先用 “$\mathrm{e} 抬起$”法变形；

$\textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}}$ 求导的时候，对于由乘除法连接的多个幂指函数，先用 “$\ln$ 落下”法变形。

---