不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了

一、题目

[A]. $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$

[B]. $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$

[C]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

[D]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

难度评级：

二、解析

为了解答本题，我们需要明确两个基本知识：

在本题中，由于对 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $\textcolor{magenta}{n-1}$, 因此，根据「荒原之梦考研数学」的《齐次线性方程组是否有非零解与系数矩阵的列向量是否相关有关》这篇文章可知，线性方程组 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的线性无关的解的个数为：

$$
n – (\textcolor{magenta}{n-1}) = 1
$$

如果我们将 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的这一个解设为 $\boldsymbol{\alpha}$, 则可知：

1. $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 一定与 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关;
2. $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 一定与 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关;
3. $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 一定与 $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性相关。

即：

$$
\begin{aligned}
k_{1} \boldsymbol{\alpha} & = \boldsymbol{\alpha}_{1} \\
k_{2} \boldsymbol{\alpha} & = \boldsymbol{\alpha}_{2} \\
k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{1} & = \boldsymbol{\alpha}_{2}
\end{aligned}
$$

其中，$k_{1}$, $k_{2}$ 和 $k_{3}$ 为任意常数。

为了表述方便，我们假设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个三阶矩阵，则，当 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $=$ $\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}$ 的时候，$\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $=$ $0$ 显然成立，但此时：

$$
k \boldsymbol{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

所以，[A] 选项中 $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$ 不能作为 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的一个通解。

同理，[B] 选项中的 $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 也不能作为 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的一个通解。

对于 [C] 选项，如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $=$ $\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ $=$ $\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}$, 则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性相关，但是：

$$
k (\boldsymbol{\alpha}_{1} + \boldsymbol{\alpha}_{2} ) = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

所以，$k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$ 也不能作为 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的一个通解。

综上，只有 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ $\neq$ $0$ 一定成立，因此，只有 [D] 选项中的 $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$ 一定是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的一个通解。

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