通过化简，我们可以直接完成行列式的求解

一、题目

难度评级：

二、解析

直接对原行列式进行计算过于复杂，所以，我们首先对原行列式进行化简：

$$
\begin{aligned}
& \begin{vmatrix}
x-5 & -6 & 3 \\
1 & x & -1 \\
-1 & -2 & x-1
\end{vmatrix} \\ \\
& \xlongequal{第二行加到第三行} \begin{vmatrix}
x-5 & -6 & 3 \\
1 & x & -1 \\
0 & x-2 & x-2
\end{vmatrix} \\ \\
& \xlongequal{第二行的三倍加到第一行} \textcolor{springgreen}{\begin{vmatrix}
x-2 & 3 (x-2) & 0 \\
1 & x & -1 \\
0 & x-2 & x-2
\end{vmatrix} }
\end{aligned}
$$

由于原行列式等于 $0$, 所以化简到足够程度的该行列式一定含有至少一个全 $0$ 行——

对于上面化简得到的行列式，第二行元素肯定不会全为 $0$, 而无论要使第一行元素全为 $0$, 还是使第二行元素全为 $0$, 都必须让 $x$ $=$ $2$, 因此，我们在这里就可以判断出答案为 $x$ $=$ $2$, 如果是在考试中，时间紧张，就可以先不用进行下面的计算了。

当然，我们继续进行计算，也可以得出 $x$ $=$ $2$ 这一结论：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{\begin{vmatrix}
x-2 & 3 (x-2) & 0 \\
1 & x & -1 \\
0 & x-2 & x-2
\end{vmatrix} } \\ \\
& \Rightarrow x (x-2) ^{2} – 3 (x-2) ^{2} + (x-2) ^{2} \\ \\
& \Rightarrow (x – 2) ^{2} (x – 3 + 1) \\ \\
& \textcolor{green}{\boldsymbol{ x = 2 }}
\end{aligned}
$$

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