平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算

一、题目

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1+x^2}{1+x^4}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

根据分子越复杂越好算，分母越复杂越难算的原理，我们知道，解决本题的第一步就应当是降低原式 $I$ 被积式中分母 “$1+x^4$” 的次幂——同时，为了降低次幂，我们甚至可以增加分母中“项”的个数。

分析可知，”$1+x^4$” 不适合使用求导降幂的方式降低次幂，因为求导降幂每次只能将幂次降低 $1$, 而式子 $I$ 分子和分母的幂次相差 $2$.

所以，我们就考虑利用“平方降幂法”降低分母的次幂，因为 $2$ 的平方刚好是 $4$, 对于本题，我们有：

$$x^4+1=(x^2–1{)}^2+2x^2$$

Note

*当分母的次幂只比分子大 $1$ 的时候，可以使用“求导降幂法”；
**当分母的次幂比分子的次幂大 $2$ 的时候，可以使用本文的“平方降幂法”。

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于是：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1+x^2}{1+x^4}\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1+x^2}{{\left(x^2–1\right)}^2+2x^2}\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x}{{\left(x–\frac{1}{x}\right)}^2+2}\\ \\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\left(x–\frac{1}{x}\right)}^2+2}\mathrm{d}\left(x–\frac{1}{x}\right)\\ \\ & =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\left(\frac{x–\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}\right)}^2+\frac{2}{2}}\mathrm{d}\left(\frac{x–\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}\right)\\ \\ & ={\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{x–\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}|}_0^{+\mathrm{\infty }}\\ \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\arctan (+\mathrm{\infty })–\arctan (-\mathrm{\infty })\right]\\ \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{\pi }{2}–\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right]\\ \\ & =\frac{\mathit{\pi }}{\sqrt{\mathbf{2}}}\end{array}$$

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