2024年考研数二第15题解析:定积分的物理应用

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

物体在 $3$ 个单位时间内走过的距离为:

$$
\int_{0}^{3} (t+k \sin \pi t) \mathrm{d} t
$$

因此,该物体在 $3$ 个单位时间内的平均速度可以表示为:

$$
\frac{\int_{0}^{3}(t+k \sin \pi t) \mathrm{d} t}{3}=\frac{5}{2}
$$

即:

$$
\int_{0}^{3}(t+k \sin \pi t) \mathrm{d} t=\frac{15}{2}
$$

于是:

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{3}(t+k \sin \pi t) \mathrm{d} t \\
& = \frac{1}{2} t^{2}-\left.\frac{k}{\pi} \cos \pi t\right|_{0} ^{3} \\
& = \textcolor{springgreen}{ \frac{9}{2}+\frac{2 k}{\pi} = \frac{15}{2} }
\end{aligned}
$$

接着,由 $\textcolor{springgreen}{ \frac{9}{2}+\frac{2 k}{\pi} }$ $\textcolor{springgreen}{ = }$ $\textcolor{springgreen}{ \frac{15}{2} }$ 可得:

$$
k=\frac{3}{2} \pi
$$


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