平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2

一、前言

通过本文，我们将理解为什么对于 $n$ 阶矩阵 $A$, 如果 $A^{2} = O$, 则下式成立：

$$
r(A) \leqslant \frac{n}{2}
$$

二、解析

假如我们有行向量 $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ 与列向量 $\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}$, 则这二者相乘可得零，因为零与非零的部分刚好抵消：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} = 0
$$

此时：

$$
\textcolor{springgreen}{
r \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1
\end{bmatrix} + r \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} = 3 }
$$

进一步，对于下面的向量，虽然零与非零的部分不是一对一的相互抵消，但这两个向量相乘也得零：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} = 0
$$

此时：

$$
\textcolor{springgreen}{
r \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} + r \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} = 2 }
$$

或者：

$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} = 0
$$

此时：

$$
\textcolor{springgreen}{
r \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} + r \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} = 1 }
$$

又或者：

$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} = 0
$$

此时：

$$
\textcolor{springgreen}{
r \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} + r \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} = 0 }
$$

因此，我们可以推知，对于两个 $n$ 阶向量 $A$ 和 $B$, 若 $AB = O$, 则：

$$
0 \leqslant r(A) + r(B) \leqslant n
$$

因此，对于 $n$ 阶向量 $A$, 若 $A^{2} = O$, 则：

$$
0 \leqslant r(A) + r(A) \leqslant n \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
0 \leqslant r(A) \leqslant \frac{n}{2}
}
$$

上面是通过举例的方式得出了矩阵的平方为零矩阵，则对应的矩阵的秩所具有的性质。其实，我们还可以记住如下这一规律，以便于更灵活的解题：

对于一个不满秩的方阵（不可逆方阵），每进行一次自乘运算，原矩阵的秩都会减小 $1$, 直至秩为 $0$.

也就是说，如果 $A$ 为 $4$ 阶矩阵，且 $A^{3} = O$, 则：

*$A^{3}$ 的秩一定为 $0$;
**$A^{2}$ 的秩可能为 $1$, $0$;
***$A$ 的秩可能为 $2$, $1$, $0$.

或者：

$$
\begin{aligned}
r(A^{100}) \leqslant 100 \\
& \Rightarrow r(A^{99}) \leqslant 101 \\
& \Rightarrow r(A^{98}) \leqslant 102 \\
& \Rightarrow r(A^{97}) \leqslant 103 \\
& \cdots
\end{aligned}
$$

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