凑微分的特征：被积函数中的两部分是导数和原函数的关系

一、前言

在被积函数中，如果我们能找到两部分式子 “$\square$” 和 “$\triangle$” 是导数和原函数的关系，例如：

$$
(\square)^{\prime} = \triangle
$$

则可凑微分为：

$$
\int \square \cdot \triangle \mathrm{~d} x = \int \square \mathrm{~d} (\square)
$$

在本文中，荒原之梦考研数学网将通过几个例题演示上面的凑微分方法。

题目 01

$$
I = \int\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) \tan \left(x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

解析 01

由于：

$$
\left(x-\frac{1}{x}\right)^{\prime}=1+\frac{1}{x^{2}}
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
I & = \int\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) \tan \left(x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int \tan \left(x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{~d} \left(x-\frac{1}{x}\right) \Rightarrow t=x-\frac{1}{x} \Rightarrow \\ \\
& = \int \tan t \mathrm{~d} t \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ (\ln \cos t)^{\prime} = \frac{-\sin t}{\cos t} = -\tan t } \Rightarrow \\ \\
& = \int \tan t \mathrm{~d} t=-\ln \cos t+C \\ \\
& = -\ln \left|\cos \left(x-\frac{1}{x}\right)\right|+C
\end{aligned}
$$

题目 02

$$
I=\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

解析 02

由于：

$$
\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=\frac{-1}{x^{2}}
$$

因此：

$$
I=-\int \mathrm{~d} \left(e^{\frac{1}{x}}\right)=-e^{\frac{1}{x}}+C
$$

或者：

$$
I=-\int e^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} \left(\frac{1}{x}\right)=-e^{\frac{1}{x}}+C
$$

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