2017 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

若函数 f(x) 可导,且 f(x)f'(x)>0, 则()

( A ) f(1)>f(-1)

( B ) f(1)<f(-1)

( C ) |f(1)|>|f(-1)|

( D ) |f(1)|<|f(-1)|

解析

观察题目我们可以发现,f(x)f'(x) 和下面这个这个公式很像:

[f(x) \cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

如果我们令 g(x)=f(x), 则有:

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=f(x)f'(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)

进一步,我们可以令 F(x)=f^{2}(x), 则有:

F'(x)=2f(x)f'(x)

由题可知,f(x)f'(x)>0, 于是有 F'(x)>0, 即 F(x) 是一个单调递增的函数,由此可得:

F(1)-F(-1)>0

即:

f^{2}(1)-f^{2}(-1)>0 \Rightarrow f^{2}(1)>f^{2}(-1) \Rightarrow |f(1)|>|f(-1)|

综上可知,正确答案为:C

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