2017 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

若函数 [latex]f(x)[/latex] 可导,且 [latex]f(x)f'(x)>0[/latex], 则()

( A ) [latex]f(1)>f(-1)[/latex]

( B ) [latex]f(1)<f(-1)[/latex]

( C ) [latex]|f(1)|>|f(-1)|[/latex]

( D ) [latex]|f(1)|<|f(-1)|[/latex]

解析

观察题目我们可以发现,[latex]f(x)f'(x)[/latex] 和下面这个这个公式很像:

[latex][f(x) \cdot g(x)]’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[/latex]

如果我们令 [latex]g(x)=f(x)[/latex], 则有:

[latex]f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=f(x)f'(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)[/latex]

进一步,我们可以令 [latex]F(x)=f^{2}(x)[/latex], 则有:

[latex]F'(x)=2f(x)f'(x)[/latex]

由题可知,[latex]f(x)f'(x)>0[/latex], 于是有 [latex]F'(x)>0[/latex], 即 [latex]F(x)[/latex] 是一个单调递增的函数,由此可得:

[latex]F(1)-F(-1)>0[/latex]

即:

[latex]f^{2}(1)-f^{2}(-1)>0 \Rightarrow f^{2}(1)>f^{2}(-1) \Rightarrow |f(1)|>|f(-1)|[/latex]

综上可知,正确答案为:C

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