解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑

一、题目

若 $a>0, f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续, 并且当 $0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}$ 时 $f(x)+f(a-x)=0$, 则 $\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$

(A) $>0$

(B) $<0$

(C) $=0$

(D) 不能确定符号

难度评级：

二、解析

已知：

$$
\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{a}{2}} f(x) \mathrm{d} x+\int_{\frac{a}{2}}^{a} f(x) \mathrm{d} x
$$

又：

$$
\int_{\frac{a}{2}}^{a} f(x) \mathrm{d} x \Rightarrow t=a-x \Rightarrow x=a-t \Rightarrow
$$

$$
x \in\left(\frac{a}{2}, a\right) \Rightarrow t \in\left(\frac{a}{2}, 0\right), \mathrm{d} x=-\mathrm{d} t
$$

则：

$$
\int_{\frac{a}{2}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{\frac{a}{2}}^{0} f(a-t) \mathrm{d} t = \int_{0}^{\frac{a}{2}} f(a-t) \mathrm{d} t
$$

于是：

$$
\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{a}{2}}[f(x)+f(a-x)] \mathrm{d} x=0
$$

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