什么样的是充分条件？什么样的是必要条件？

一、题目

$a=1$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, a)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a, 1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 1,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(-2,-2, a+$ $6)^{\mathrm{\top}}$ 的秩为 2 的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & a & -2 \\ 1 & a & 1 & -2 \\ a & 1 & 1 & a+6\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & -2 \\ 0 & a-1 & 1-a & 0 \\ 0 & 1-a & 1-a^{2} & 3 a+6\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & -2 \\ 0 & a-1 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 2-a-a^{2} & 3 a+6\end{array}\right]
$$

$$
a=1 \Rightarrow \left(\begin{array}{llll}0 & a – 1 & 1-a & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
$$

$$
a=-2 \Rightarrow \left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 2-a-a^{2} & 3 a+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
$$

所以，根据“前充分后必要，小充分大必要”的规则，$a=1$ 是充分非必要条件。

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