线性无关的向量组内部各个向量都是线性无关的

一、题目

已知，向量组 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 线性无关, ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性相关, 则下列说法正确的是哪个？

(A) ${\mathit{\alpha }}_1$ 必可由 ${\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性表示.

(B) ${\mathit{\alpha }}_2$ 必可由 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性表示.

(C) ${\mathit{\alpha }}_3$ 必可由 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性表示.

(D) ${\mathit{\alpha }}_4$ 必可由 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 线性表示.

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二、解析

由于向量组 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 线性无关，所以 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 之间任意两个向量之间都是线性无关的。

因此，在线性相关的向量组 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_4$ 中，由于 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 线性无关，因此，线性相关性一定来自 ${\alpha }_4$ 与 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 之间——

即 ${\alpha }_4$ 可由 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 线性表示，当然，也可以说，${\alpha }_4$ 可由 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ 和 ${\alpha }_3$ 线性表示。

进一步分析可知，如果 A 选项是对的，即“${\mathit{\alpha }}_1$ 可由 ${\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4$ 线性表示”，由于 ${\alpha }_1$ 不可由 ${\alpha }_2$ 和 ${\alpha }_3$ 线性表示，因此，就一定需要有：

$${\alpha }_1=k{\alpha }_4$$

很显然，事实上也可以有 ${\alpha }_1\ne k{\alpha }_4$——同理可知，A、B、C 选项都是错的。

综上可知，D 选项正确。

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