线性无关的向量组内部各个向量都是线性无关的

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关, 则下列说法正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示.

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二、解析

由于向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，所以 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 之间任意两个向量之间都是线性无关的。

因此，在线性相关的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 中，由于 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 线性无关，因此，线性相关性一定来自 $\alpha_{4}$ 与 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 之间——

即 $\alpha_{4}$ 可由 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 线性表示，当然，也可以说，$\alpha_{4}$ 可由 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{3}$ 线性表示。

进一步分析可知，如果 A 选项是对的，即“$\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示”，由于 $\alpha_{1}$ 不可由 $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{3}$ 线性表示，因此，就一定需要有：

$$
\alpha_{1} = k \alpha_{4}
$$

很显然，事实上也可以有 $\alpha_{1} \neq k \alpha_{4}$——同理可知，A、B、C 选项都是错的。

综上可知，D 选项正确。

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