旋转体侧面积计算公式的注意事项

一、前言

在本文中，荒原之梦网总结了一个在使用考研高等数学中所要求的旋转体的侧面积公式的时候可能产生的一种错误计算方式，可以帮助大家提前做好规避准备。

二、正文

当曲线为普通方程时，其绕 $X$ 轴旋转所产生的旋转体的侧面积为：

$$
S=2 \pi \int_{a}^{b}|f(x)| \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{~ d} x
$$

当曲线为参数方程时，其绕 $X$ 轴旋转所产生的旋转体的侧面积为：

$$
S=2 \pi \int_{a}^{b}|f(x)| \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{~ d} t
$$

但是需要注意，虽然上面公式中的 $\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}$ 和 $\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}$ 都来自曲线弧长的计算公式，但即便我们已经计算出来弧长 $L$, 下面的这种计算方式也是错误的，因为不符合定积分的运算律：

$$
\xcancel{
\textcolor{orangered}{
S = \int_{a}^{b} | f(x) | \cdot L \mathrm{~ d} x
}
}
$$

$$
\xcancel{
\textcolor{orangered}{
S = L \cdot \int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{~ d} x
}
}
$$

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