可降解的微分方程的主要特征：式子中没有 x

一、题目

微分方程 $y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$, $y^{\prime}(0)=-1$ 的特解是多少？

难度评级：

二、解析

由于 $y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$ 不显含 $x$, 符合可分离变量微分方程的特征，因此，令：

$$
p=y^{\prime}=\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}
$$

即：

$$
y^{\prime}=p(y)
$$

Tips:

可以把 $p$ 看做是一个复合函数，即 $p(y)$ 是 $y$ 的函数，$y(x)$ 是 $x$ 的函数。

进而：

$$
y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{~ d} p(y)}{\mathrm{~ d} x}=\frac{\mathrm{~ d} p(y)}{\mathrm{~ d} y} \cdot \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y} \cdot p
$$

将上面得到的式子代入 $y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$, 可得：

$$
y p \cdot \frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y}+2 p^{2}=0
$$

若要使上式成立，则必有：

$$
y \frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y}+2 p=0
$$

或者：

$$
p=0
$$

但由于 $p=-y^{\prime}=0 \neq-1$, 因此 $p = 0$ 不成立。

接着进行变量分离：

$$
y \frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y}+2 p=0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{y \mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y}=\frac{-2 p}{1} \Rightarrow
$$

$$
y \mathrm{~ d} p=-2 p \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} p}{p}=\frac{-2 \mathrm{~ d} y}{y} \Rightarrow
$$

Tips:

在分离变量的时候，要把微分符号 $\mathrm{d}$ 放在分子上，而不是分母上，这样才有利于接下来的积分运算。

例如，我们不能把 $y \frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} y}+2 p=0$ 分离成 $\frac{y}{\mathrm{d} y} + \frac{2p}{\mathrm{d} p} = 0$ 这样的形式。

等号两边同时积分：

$$
\int \frac{1}{p} \mathrm{~ d} p=-2 \int \frac{1}{y} \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

$$
\ln |p|+2 \ln |y|=\ln |C_{1}| \Rightarrow
$$

$$
\ln | p| + \ln y^{2} = \ln | C_{1} | \Rightarrow
$$

$$
p+y^{2} = C_{1} \Rightarrow
$$

$$
p=\frac{C_{1}}{y^{2}} \Rightarrow
$$

又 $x=0$ 时，$y=1$, $p = y^{\prime}=-1$, 于是：

$$
-1=\frac{C_{1}}{1} \Rightarrow C_{1}=-1
$$

于是：

$$
p=\frac{-1}{y^{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\frac{-1}{y^{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{2} \mathrm{~ d} y=-\mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

两边同时积分：

$$
\int y^{2} \mathrm{~ d} y+\int \mathrm{~ d} x=C_{2} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{3} y^{3}+x=C_{2}
$$

又 $x=0$ 时 $y=1$, 于是：

$$
C_{2}=\frac{1}{3} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{3} y^{3}+x=\frac{1}{3} \Rightarrow
$$

$$
y^{3}+3 x=1 \Rightarrow
$$

$$
y=\sqrt[3]{1-3 x}
$$

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