计算平面曲线的弧长需要知道积分上下限，但如果这个积分上线限题目中没有给出该怎么办？

一、题目

曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的弧长等于多少？

难度评级：

二、解析

根据《考研数学中计算平面曲线弧长的全部公式》这篇文章可知，计算普通方程表示的平面曲线的弧长的公式为：

$$
\textcolor{springgreen}{
l=\int_{a}^{b} \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} \mathrm{~ d} x } \quad \mathrm{~ d} x \in(a, b)
$$

又：

$$
y=\int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3-t^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
y^{\prime}=\sqrt{3-x^{2}}
}
$$

虽然题目中并没有给出 $y(x)$ 的取值范围，也就是我们计算平面曲线弧长所需的定积分上下限，但是，在这里，我们可以通过函数的性质自己求解出来：

$$
3-x^{2} \geqslant 0 \Rightarrow x^{2} \leq 3 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
x \in(-\sqrt{3}, \sqrt{3})
}
$$

于是：

$$
l=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} d \sqrt{1+3-x^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\textcolor{orange}{
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~ d} x }
$$

Next

以下是对式子 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~ d} x$ 的解法一：

$$
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2 x} \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right)=
$$

$$
\left.x^{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2 x}\right|_{-\sqrt{3}} ^{\sqrt{3}}-\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x^{2} \mathrm{~ d} \left(\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2 x}\right)
$$

其中：

$$
I_{1}=\left.x^{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2 x}\right|_{-\sqrt{3}} ^{\sqrt{3}}=\left.\frac{1}{2} x \sqrt{4-x^{2}}\right|_{-\sqrt{3}} ^{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
$$

$$
I_{2}=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x^{2} \mathrm{~ d} \left(\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2 x}\right)=
$$

$$
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x^{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}\left(4-x^{2}\right)^{\frac{-1}{2}} \cdot(-2 x) \cdot 2 x-2 \sqrt{4-x^{2}}}{4 x^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{\frac{-2 x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}-2 \sqrt{4-x^{2}}}{4} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{-2 x^{2}-2\left(4-x^{2}\right)}{4 \sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{-8}{4 \sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
-2 \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
-2 \times 2 \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{2 \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} \left(\frac{x}{2}\right) =
$$

$$
-\left.2 \arcsin \frac{x}{2}\right|_{-\sqrt{3}} ^{\sqrt{3}}=-2\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{-4 \pi}{3}
$$

于是：

$$
l=I_{1}-I_{2}=\sqrt{3}+\frac{4}{3} \pi
$$

Next

以下是对式子 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~ d} x$ 的解法二：

$$
l=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
x=2 \sin t \Rightarrow \sin t \in\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
t \in\left(\frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)
$$

$$
4-x^{2}=4-4 \sin ^{2} t=4 \cos ^{2} t
$$

$$
\mathrm{~ d} x=2 \cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
l=\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} 2 \cos t \cdot 2 \cos t \mathrm{~ d} t=4 \int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\cos 2 \alpha = 2 \cos ^{2} \alpha-1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2}(\cos 2 t+1)=\cos ^{2} t \Rightarrow
$$

$$
l=4 \times \frac{1}{2} \int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\cos 2 t+1) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
l=2 \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\cos 2 t+1) \mathrm{~ d} t=\left.2\left(\frac{1}{2} \sin 2 t+t\right)\right|_{\frac{-\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{3}}=
$$

$$
\left.\sin 2 t\right|_{\frac{-\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{3}}+\left.2 t\right|_{\frac{-\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{3}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{4}{3} \pi \Rightarrow
$$

$$
l=\sqrt{3}+\frac{4}{3} \pi
$$

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