这个式子中隐藏着可微的判别公式，你能找到吗？

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$, 则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微吗？偏导数 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}$ 等于多少？

难度评级：

二、解析

方法一：特例法

令：

$$
f(x, y)-1=2\left(x^{2}+y^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
f(x, y)=2\left(x^{2}+y^{2}\right)+1 \Rightarrow
$$

则：

$$
f(x, 0)=2 x^{2}+1 \Rightarrow f_{x}^{\prime}(x, 0)=4 x \Rightarrow
$$

$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=0
$$

且：

$$
f^{\prime}(0, y)=2 y^{2}+1 \Rightarrow f_{y}^{\prime}(0, y)=4 y \Rightarrow
$$

$$
f_{y}^{\prime}(0,0)=0
$$

同时，函数 $f(x, y)=2\left(x^{2}+y^{2}\right)+1$ 在点 $(0,0)$ 处显然可微。

方法二：公式法

首先：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2 \quad \Rightarrow
$$

$$
\because \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0
$$

$$
\therefore \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}[f(x, y)-1]=0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=1
$$

又由题目已知的 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续可知，一定有：

$$
f(0,0)=1
$$

接着，当 $x \rightarrow 0, y \rightarrow 0$ 时：

$$
\frac{f(x, y)-f(0,0)}{x^{2}+y^{2}}=2 \Rightarrow
$$

$$
f(x, y)-f(0,0)=2\left(x^{2}+y^{2}\right)
$$

若令：

$$
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
$$

则 $\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 就是 $\rho = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 的高阶无穷小，即：

$$
2\left(x^{2}+y^{2}\right) = o(\rho) \Rightarrow
$$

$$
f(x, y)-f(0,0) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \Delta y+o(\rho) \Rightarrow
$$

$$
f(x, y)-f(0,0) = 0 \cdot \Delta x+0 \cdot \Delta y+o(\varphi) = o(\varphi)
$$

综上可知，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0$.

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