这个带有平方项的二次型却没办法按照拉格朗日配方法配成完全平方，该怎么办？

一、题目

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ 的正惯性指数 $p=?$

难度评级：

二、解析

方法一：正交变换法

$$
f=x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3} \Rightarrow
$$

$$
A=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
|\lambda z-A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}(\lambda-1)-(\lambda-1)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-1)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1
$$

因此，$p = 2$.

方法二：拉格朗日配方法

Tips:

关于拉格朗日配方法的完整讲解，可以参阅《将二次型化为标准型（规范型）的方法之：拉格朗日配方法》这篇文章。

$$
f=x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3} \Rightarrow
$$

Tips:

该二次型原式中含有平方项，但不足以直接完成完全平方的配置，因此，还是需要借助平方差公式，按照处理不含有平方项的二次型的方法进行计算。

令：

$$
\tag{1} \left\{\begin{array}{l}x_{1}=y_{1}+y_{2} \\ x_{3}=y_{1}-y_{2} \\ x_{2}=y_{3}\end{array} \right. \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right|=0+1+1=2 \neq 0
$$

Tips:

上面的变换矩阵对应的行列式不等于零代表这个变换是有效的。事实上，用拉格朗日配方法得到的变换矩阵对应的行列式都是不等于零的。

将 $(1)$ 式代入原二次型得标准型为：

$$
f=y_{3}^{2}+2 y_{1}^{2}-2 y_{2}^{2} \Rightarrow
$$

$$
f=2 y_{1}^{2}+y_{3}^{2}-2 y_{2}^{2}.
$$

当然，上面的 $(1)$ 式也可以设成如下形式：

$$
\left\{\begin{array}{l}x_{1}=y_{1}+y_{3} \\ x_{2}=y_{2} \\ x_{3}=y_{1}-y_{3}\end{array}\right.
$$

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