使用待定系数法解出来的不定积分一般都会产生对数，但你知道什么时候对数会消失吗？

一、题目

在不定积分 $I=\int \frac{x^{2}+a x+b}{(x+1)^{2}\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ 中不含对数函数，则 $b=?$

难度评级：

二、解析

注意：本题需要用到待定系数法求解不定积分，相关基础知识可以参考这里，真题中也考察过这部分内容，例如 2019 年数二第 16 题。

已知：

$$
I=\int \frac{x^{2}+a x+b}{(x+1)^{2}\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{~ d} x
$$

于是，根据待定系数法，可得：

$$
\frac{x^{2} + ax + b}{(x+1)^{2}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A x+B}{(x+1)^{2}}+\frac{C x+D}{\left(x^{2}+1\right)}=
$$

分解可得：

$$
\frac{A(x+1)-A+B}{(x+1)^{2}}+\frac{C x+D}{\left(x^{2}+1\right)}=
$$

继续分解：

$$
\frac{A}{(x+1)}+\frac{B-A}{(x+1)^{2}}+\frac{C x+D}{\left(x^{2}+1\right)}
$$

如果要使对数不存在，则需要 $A=0, \ C=0$, 则：

$$
\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{D}{\left(x^{2}+1\right)}=
$$

$$
x^{2}+a x+b = B\left(x^{2}+1\right)+D(x+1)^{2} \Rightarrow
$$

$$
x^{2}+a x+b=B x^{2}+B+D x^{2}+D+2 D x \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}B+D=1 \\ 2 D=a \\ B+D=b\end{array}\right.
\Rightarrow
$$

$$
b = 1
$$

Next

为了进一步说明待定系数法在不定积分中的应用，我们可以再看一道下面的题目：

$$
I=\int \frac{x+2}{x^{2}+2 x+2} \mathrm{~d} x=?
$$

解析过程如下：

Tips:

$x^{2}+2 x+2$ 并不能直接拆分成 $(XX)(XX)$ 的形式，但是，我们可以进行如下的“半拆分”或者说“取余拆分”（拆分成 $(x+1)^{1} + 1$）——总之，核心的原则就是，拆分出来的式子要尽可能简洁，同时不能出现虚数，只能用实数表示。

$$
\frac{x+2}{x^{2}+2 x+2}=\frac{(x+1)+1}{(x+1)^{2}+1} \Rightarrow
$$

$$
\int \frac{x+2}{x^{2}+2 x+2} \mathrm{~ d} x=\int \frac{x+1}{(x+1)^{2}+1} \mathrm{~ d} x+\int \frac{1}{(x+1)^{2}+1} \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\int \frac{x+1}{x^{2}+2 x+2} \mathrm{~ d} x+\int \frac{1}{(x+1)^{2}+1} \mathrm{~ d}{ (x+1) }=
$$

$$
\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+2 x+2\right)+\arctan (x+1)+C
$$

Tips:

可以看到，上面的计算结果中就出现了对数函数 $\textcolor{red}{\ln}$

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