使用待定系数法解出来的不定积分一般都会产生对数，但你知道什么时候对数会消失吗？

一、题目

在不定积分 $I=\int \frac{x^2+ax+b}{(x+1{)}^2(x^2+1)}\mathrm{d}x$ 中不含对数函数，则 $b=?$

难度评级：

二、解析

注意：本题需要用到待定系数法求解不定积分，相关基础知识可以参考这里，真题中也考察过这部分内容，例如 2019 年数二第 16 题。

已知：

$$I=\int \frac{x^2+ax+b}{(x+1{)}^2(x^2+1)}\mathrm{d}x$$

于是，根据待定系数法，可得：

$$\frac{x^2+ax+b}{(x+1{)}^2(x^2+1)}=\frac{Ax+B}{(x+1{)}^2}+\frac{Cx+D}{(x^2+1)}=$$

分解可得：

$$\frac{A(x+1)-A+B}{(x+1{)}^2}+\frac{Cx+D}{(x^2+1)}=$$

继续分解：

$$\frac{A}{(x+1)}+\frac{B-A}{(x+1{)}^2}+\frac{Cx+D}{(x^2+1)}$$

如果要使对数不存在，则需要 $A=0,C=0$, 则：

$$\frac{B}{(x+1{)}^2}+\frac{D}{(x^2+1)}=$$

$$x^2+ax+b=B(x^2+1)+D(x+1{)}^2\Rightarrow$$

$$x^2+ax+b=B{x}^2+B+D{x}^2+D+2Dx\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}B+D=1\\ 2D=a\\ B+D=b\end{array}\Rightarrow$$

$$b=1$$

Next

为了进一步说明待定系数法在不定积分中的应用，我们可以再看一道下面的题目：

$$I=\int \frac{x+2}{x^2+2x+2}\mathrm{d}x=?$$

解析过程如下：

Tips:

$x^2+2x+2$ 并不能直接拆分成 $(XX)(XX)$ 的形式，但是，我们可以进行如下的“半拆分”或者说“取余拆分”（拆分成 $(x+1{)}^1+1$）——总之，核心的原则就是，拆分出来的式子要尽可能简洁，同时不能出现虚数，只能用实数表示。

$$\frac{x+2}{x^2+2x+2}=\frac{(x+1)+1}{(x+1{)}^2+1}\Rightarrow$$

$$\int \frac{x+2}{x^2+2x+2}\mathrm{d}x=\int \frac{x+1}{(x+1{)}^2+1}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{(x+1{)}^2+1}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{(x+1{)}^2+1}\mathrm{d}(x+1)=$$

$$\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2)+\arctan (x+1)+C$$

Tips:

可以看到，上面的计算结果中就出现了对数函数 $\ln$

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