若要使 n 个 n 维向量可以表示任意一个 n 维向量，这 n 个 n 维向量必须线性无关

一、题目

若对于任意的 $b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)^{\mathrm{\top}}$, 方程组 $\left\{\begin{array}{l}
2 x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=b_{1} \\
\lambda x_{1}-x_{2}+x_{3}=b_{2} \\
4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=b_{3}
\end{array}\right.$ 总有解，则 $\lambda$ 应满足什么条件？

难度评级：

二、解析

系数矩阵为：

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & \lambda & -1 \\ \lambda & -1 & 1 \\ 4 & 5 & -5\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & \lambda & -1 \\ \lambda & -1 & 1 \\ 0 & 5-2 \lambda & -3\end{array}\right]
$$

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}\lambda+2 & \lambda-1 & 0 \\ \lambda & -1 & 1 \\ 0 & 5-2 \lambda & -3\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}\lambda+2 & \lambda-1 & 0 \\ \lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-2 \lambda & -3\end{array}\right]
$$

于是：

$$
|A| =3 \lambda(\lambda-1)-2(\lambda+2)(1-\lambda)=0 \Rightarrow
$$

$$
3 \lambda(\lambda-1)+2(\lambda+2)(\lambda-1)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)[3 \lambda+2(\lambda+2)]=0 \\ (\lambda-1)(5 \lambda+4)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda = 1, \ \lambda = \frac{-4}{5}
$$

因此，满足题意的答案为：

$$
\lambda \neq 1, \lambda \neq \frac{-4}{5}
$$

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