极大线性无关组的选取不一定是某个固定的组合：只要线性无关且再加一个向量就线性相关即可

一、题目

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,3,0)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,1,-2,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,1,-5,-2)^{\mathrm{\top}}$ 的极大线性无关组是（）

难度评级：

二、解析

首先，化简原矩阵：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$

根据上面的化简结果我们知道，一般情况下，我们会选择 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 作为该向量组的极大线性无关组，但是，观察发现，其实该项两组中任意两个向量都线性无关，因此，本题的正确答案就是：

$$
\alpha_{1}, \ \alpha_{2}, \ \alpha_{3} \ \text{中的任意两个向量}
$$

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