为什么可逆矩阵对应的行列式的值一定不为零?

一、前言 前言 - 荒原之梦

我们知道:

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A| \neq 0$

但你知道为什么会有上面这个关系吗?

二、正文 正文 - 荒原之梦

通过荒原之梦网的《通过把单位矩阵 $E$ 看作一张白纸或原点来理解一些做题思路》这篇文章可知,矩阵与其逆矩阵可以看作是关于单位矩阵 $E$ 对称的,也就是说,我们可以通过初等行变换或者初等列变换,将一个矩阵移动到关于单位矩阵对称的另一端,所得到的矩阵就是该矩阵的逆矩阵——

但是,如果该矩阵对应的行列式的值为零,也就意味着该矩阵中至少有一行或者一列中的元素是全为零的,那么,我们无论怎么进行初等变换,都不能将这个矩阵移动到关于单位矩阵对称的另一端,也就是说,这样的矩阵是不可逆的。


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