注意:判断一点处导数存在时说的“左导等于右导”是不带极限的

一、题目题目 - 荒原之梦

由 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ 能推导出函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导且连续且 $f^{\prime}(x_{0}) = a$ 的结论吗?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,根据《函数可导的充分必要条件》可知,函数在一点处可导的充要条件是:

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=A \Leftrightarrow f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=A
$$

也就是我们常说的“左导等于右导,则函数在该点处可导”。

但是,这是所说的“左导”和“右导”都是导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x = x_{0}$ 左右两边的确切值,而非极限值,因此:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x) = \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a \textcolor{red}{\nLeftrightarrow} f^{\prime}(x_{0}) = a
$$

从本题中,我们只能知道:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x) = \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a \textcolor{green}{\Leftrightarrow} \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x_{0}) = a
$$

综上可知,由 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ 【不能】推出如下结论:

  1. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导;
  2. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续;
  3. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限存在;
  4. $f^{\prime}(x_{0}) = a$.

总的来说,在判断一点处左右导数的时候要注意:

左右导函数的值,并不是左右导函数的极限值。


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress