题目没给变量的取值范围就一定不能去掉绝对值符号吗?不!

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数,则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = ?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由题可知:

$$
(\sin x \ln |x|)^{\prime}=f(x)
$$

于是:

$$
\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int x \mathrm{d} [f(x)]=
$$

$$
x f(x)-\int f(x) \mathrm{d} x=
$$

$$
x(\sin x \ln |x|)^{\prime}-\sin x \ln |x|+c \Rightarrow
$$

$$
x \cos x \ln |x|+x \sin x(\ln |x|)^{\prime}-\sin x \ln |x|+C.
$$

又:

$$
x>0 \Rightarrow(\ln |x|)^{\prime}=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}
$$

$$
x<0 \Rightarrow(\ln |x|)^{\prime}=-[\ln (-x)]^{\prime}=-\frac{-1}{x}=\frac{1}{x}
$$

Tips:

上面这步处理绝对值的操作是本题的关键。

因此:

$$
x \cos x \ln |x|+x \sin x(\ln |x|)^{\prime}-\sin x \ln |x|+C=
$$

$$
x \cos x \ln |x|+x \sin x \cdot \frac{1}{x}-\sin x \ln |x|+C=
$$

$$
x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C.
$$


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