比较两个无穷大(或无穷小)量的大小,需要用除法而不是减法

一、前言 前言 - 荒原之梦

如果要比较两个有限量 $a$ 和 $b$ 的大小,我们直接用减法,判断 $a – b$ 的结果是大于零还是小于零即可。

但是,如果要比较两个无穷大量的大小,还能用减法吗?

下面就以无穷大量 $\lim_{n \rightarrow \infty} x^{n}$ 和 $\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{x^{2}}{2})^{n}$ 的比较为例进行说明。

二、正文 正文 - 荒原之梦

比较 $\lim_{n \rightarrow \infty} x^{n}$ 和 $\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{x^{2}}{2})^{n}$ 的大小,其中 $x > 0$.

如果用减法判断两个无穷大量的大小,会出现无法判断的情况:

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n}-\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[x^{n}-\frac{1}{2^{n}} x^{2^{n}}\right] \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[x^{n}\left(1-\frac{1}{2^{n}} x^{2}\right)\right] \Rightarrow
$$

由于 $x^{n}>0$, 因此,若要使 $I > 0$, 则有:

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{2^{n}} x^{2}\right)>0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} x^{2}<1.
$$

但是,做到上面这一步我们仍然无法确定 $x$ 的取值范围。

因此,参考等价无穷小同阶无穷小高阶无穷小低阶无穷小的定义可知,需要用除法判断两个无穷大量的大小:

事实上,必须使用除法判断无穷量大小的另一种理解就是:加减法对于无穷量的影响是可以忽略不计的,因此,只能使用更具“影响力”的乘除法才能比较出无穷量的大小。

$$
K=\frac{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n}}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{\frac{x^{2}}{2}}\right)^{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{x}\right)^{n}.
$$

于是:

$$
\frac{2}{x}<1 \Rightarrow x>2
$$

$$
\frac{2}{x}>1 \Rightarrow 0<x<2
$$

进而,有:

$$
x>2 \Rightarrow K \rightarrow 0 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} \ll \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} + \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} \quad (x > 2)
$$

且有:

$$
0<x<2 \Rightarrow K \rightarrow \infty \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} \gg \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} + \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} \quad (0<x<2)
$$


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